如何在数学教学中培养学生有序思考的能力 浅谈如何在小学数学教学中培养学生的有序思维
如何在教学中培养学生的数学素养
所谓数学素养，就是在人的先天生理的基础上，受后天环境、数学教育的影响，通过个体自身的实践和认识活动，所得到的数学知识、技能、能力、观念和品质的素养。它是在长期的数学学习中逐步内化而成的。它包括数学知识技能、数学意识、解决问题能力、数学信息交流、创新意识等。青少年们是全能型人才的后备军，也是祖国的未来，担负着历史赋予的神圣使命。教育青少年们努力学习科学文化知识，打下坚实基础，尤其是从小培养他们的数学素养是他们能否成为全面发展的人的关键之一。
《数学课程标准》明确提出数学教育要面向全体学生，实现“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”这三大理念，强调数学课程的基础性、普及性、和发展性，这是数学教育多年来指导思想的突破与革新。也就是说，当前我们要在这种理念的指导下实现数学教育的总体目标，全面提高学生的基础知识和基本技能，大力培养学生学习数学的情感态度和数学能力，把新课标理念转化成一个个具体的教学目标，逐一落实在数学教学活动中。下面我就结合自己的教学实践，谈一谈自己的一些做法和体会：
一、结合教学实际，重视培养学生的数感
数感是一个人数学素养的重要成分，所谓“数感”，是指学生对“数”的敏锐、精确、丰富的感知和领悟。数感的建立水平是学生个体数学素养水平的重要标志。《数学课程标准》中指出要通过数学活动，发展学生的数感。
1、创设生活情境，启蒙数感
著名数学家华罗庚曾一针见血地指出：“人们对数学产生枯燥无味、神秘难测的印象，原因之一是数学教学脱离实际。”可见，生活是数学的源泉，数学学习离开了生活，将会寸步难行，而“数感”更不是通过传授而能得到培养的。为此，我们在数学教学中必须紧密联系学生的生活实际，充分挖掘学生的生活资源，将抽象的数学建立在学生生动、丰富的生活背景上，让学生自己去感悟、探究，用数学的眼光去观察、认识周围的事物，用数学语言来表达与交流。从中提高学生对数的敏锐程度，形成对数的良好直觉，启蒙学生的数感。
2、引导认真观察，建立数感
数学是一种运用思维的学科，观察是思维的触角，是学生认识事物的基础，观察是形成和发展数学知识的基本方法之一。为此，在教学中，教师要引导学生围绕目标有序、认真、多角度、全方位的观察，可引导学生观察画面，发现数学问题；观察规律，发现数学问题；也可引导学生用数来表达和交流观察到的信息……通过一系列的观察活动帮助学生学习数学知识，建立数感、发展数感。比如在新课程各年级“数的认识”教学中，要注重让学生联系实际先观察再说一说。如：观察一张纸多厚，再观察10张、30张、50张有多厚，然后拿出一叠（1000张）纸，让他们观察有多厚。又如在教学“0的认识”时，教师引导学生联系生活实际说出在哪些地方见过“0”。这方面，学生有着丰富的生活经验，说出诸如“在体育比赛的比分上见过0”；“在温度表上见过0”；“电话上有0”；“我的直尺上有0”……学生直观体会“0”除了表示没有以外，在温度表上、方向图上表示分界点；在直尺上表示起点；在日历上表示日期；在电话、车牌上与其他数字一起组成号码……这些都是学生身边的事，学生很容易理解和接受。这样，学生在观察中不但体会了数的含义，而且初步建立相应的数感。
3、构建活动平台，发展数感
皮亚杰说，活动是儿童发展的杠杆。通过实践操作，可以让学生体会到“数”就在身边，感受到“数”的趣味和作用，对数产生亲切感。因此，在课堂教学中，教师应向学生提供充分从事数学活动的平台，始终把儿童的活动作为主体发展的基础与载体，提供开阔的活动时空，让学生有合作交流、积极思考、操作等活动空间，使学生的数感真正得到发展。
4、加强估算教学，优化数感
估算本身是数感的一个重要方面，也反映人对实际情境中数和数量及其大小范围的理解和把握水平，同样在日常生活中有重要的使用价值。因此，加强估算，可以培养学生的估计意识和估算能力，提高计算准确率，优化、巩固学生的数感。首先，教师要善于抓住各种时机，创造性地开发教材内容，让学生在探索中学会一些基本的估算方法，并说明自己估计的合理性。在这过程中要培养学生的估算方法，养成良好的估算习惯。其次，应用估算。如计算7.98×5.1，先让学生估算，可以看作8×5；所以积一定在40左右，然后再笔算；如遇到工程问题“筑路队要修一条公路，甲队独修要60天，乙队独修要40天，两队合修要多少天？”可以要求学生很快地确定大概时间，再进行计算，以提高计算的准确率。这样的估算，是学生在笔算中取的相应的感觉，体会和经验积累的基础上进行的，它对数感十分有利。
5、解决实际实际问题，提升数感
我们知道，数学源于生活，更要高于生活。因此，数学教学应从现实的、有趣的或与学生已有知识相联系的素材出发引导学生提出问题，引发讨论，在解决问题的过程中去了解新知识，形成新技能，反过来解决原先的问题，在综合运用数学知识解决问题的过程中使学生的数感得到发展。如，教学“有余数的除法”后，让学生解决“全班43人去划船，每条船限坐6人，至少需要几条船？怎样乘船合理？”的问题，学生通过思考、计算，不难得出需要8条船。
二、结合学生的生活实际，重视学生的感受和体验
在教学中，有些概念是十分抽象的，但他反映的内容又是很现实的，它与人们的生活和生产有着十分密切的联系。所以，这部分知识的教学，应让学生在学习过程中充分的体验和感受，理解这些概念的含义。比如说，在教学量与计量时。首先，要让学生进行具体的、现实的活动感受，让他们获得初步体验。
三、逐步发展学生综合运用知识的能力，注重情感、态度、价值观以及数学思想的均衡发展
1、学生综合运用知识的能力培养。知识的价值在于应用，如果学会了知识却不会运用就等于不会知识。也就是说，教师的任务不仅仅是引导他们学会知识，更要的是要引导他们学会学习和运用知识。所以，教师一定要运用好教材中“实践活动”的学习素材，
2、渗透思想教育，让学生的情感、态度、价值观得以均衡发展。学生的情感、态度、价值观如何直接影响到他们对数学知识的把握与理解。那么，就需要教师在教学时激发他们的学习兴趣和探索知识的欲望，正确的评价和鼓励每一位学生；
3、对学生的生活趣味与教材趣味进行整合，激发他们的学习兴趣。兴趣是最好的老师，新教材种设计了许多儿童喜闻乐见的内容，反映了小学阶段学生的兴趣爱好。
总之，数学素养是一种思维形式，其主要评价指标有数学知识与技能、数学思考能力、数学问题解决能力、数学观念和数学思维等。培养小学生的数学素养是一个长期的、不断积累的过程，也是时代及学生全面发展的需要。小学教师应积极转变教学观念，走出培养学生数学素养的误区，牢记育人为本，树立大数学观；在教学过程中做到以本为本，合理利用教材资源；同时还要因需定法，灵活使用多种教学方法，在培养数学能力的同时注重培养学生的数学素养，为小学生的日后学习和成才奠定坚实的基础。
小学高年级数学是夯实基础、培养学生一定的数学素养、一定思维能力、逻辑思维能力的关键时刻，因为他们马上面临着升入中学后更深层次的基础知识的学习，小学数学的基础和逻辑思维能力将直接影响中学数学的学习。中学的数学都有一定的能力要求，数学基础知识固然重要，但它更加强调的是能力、是思维，所以应该从小学的高年级起就着重培养学生的思维能力，使他们在中学学习时能更加有效率、有自信。
对学生数学思维能力、逻辑能力的培养不是一朝一夕的事情，需要慢慢地从教学中有意识地去指导他们、引领他们，我们要讲究一定的方法，做到举一反三，比如，对于一道题，我们也讲究数学理论，再加上数学分析，不要只是单纯地为了做出这道题而去做，我们在读完题目之后，先不要着急为了所问的问题而着急地去算，而要根据已知的条件想想我们能通过已知的条件算出什么，得到哪些我们不知道的信息，进行完这个过程之后，也许我们都会猜到出题人出题的本意、他要考的知识点以及他会问的一切问题，这个过程其实就是在训练我们的思维能力，但是这并没有结束，我们可以变换题目中的已知条件，也许做这道题的结果在下次碰到会变成我们的已知条件，而现在题目中的已知条件会变成下次题目的所求问题，我们应该怎样去变换思维，以至于很容易得到答案，当我们按照这样的步骤完成一道题目之后才算是真正做完了这道题，这也就是做到了我们所说的举一反三。看似我们只做了一道题，其实不然，我们是做会了一类题目，这样不但培养了学生的思维，减轻了学生的负担，也在这过程中培养了学生的乐趣。但对于能力相对高一点的学生，他们可以挑战高难度，因为有的题目不是只有一种解题方法，也许有两种或者多种解题方法，而我们通常都会用到的是最基础的方法。这就需要善于思考的学生，换一种思维去考虑问题，这样会使做题的步骤简化，如果学生能够有意识并经常去思考去发现的话，久而久之就会培养成这种思维，这样在考试的过程中就可以大大提高效率，提高准确率，这样才能给其他压轴题腾出更多的时间，这也就是为什么在中考甚至高考考试中还会有满分甚至接近满分的学生，这就需要老师在小学高年级就必须开始培养这种思维能力。因为初中的课程难度增大，而且是在具有一定思维能力的基础上开展的，高中的难度更大，课程繁重，根本没有时间和精力再去培养学生的数学思维能力和逻辑能力。
小学中的数学问题大多数与我们的生活密切联系，而在做题的时候，我们不要一味地去猜测或者想象那个情境，而要将生活问题转化为数学问题，用数学思维去理解它、想象它。比如，两位同学一起转转盘玩游戏，甲同学转了15次，乙同学转了20次，而甲同学转进红色区域的概率是五分之一，而乙同学转进红色区域的概率是十分之一，则问谁转进红色区域的次数多？这样很简单的数学问题与我们的童年密切相关，我们不能只是去猜测，而要通过数学思维能力来判断，我们用乘法就可以算出甲、乙两位同学各自转进红色区域的次数是三次和两次，这就是我们的数学思维能力，而既然从题目中我们已经知道了各自转进红色区域的概率，我们可以轻而易举地知道两人转进其他区域的概率， @就是我们的逻辑能力。我们可以从已知的条件中推断出许多信息，收集到许多隐含在题目中的条件，看似在这道小小的题目中逻辑思维能力并没有发挥多大的作用，但是这种训练是至关重要的，等到中学这种逻辑能力能够帮助学生找到许多暗含的信息，对帮助学生解决那种综合性的题目、已知条件过多的题目、题目说明很长的题目是非常有用的，不至于学生对题目乃至所问的问题含糊不清、无从下手。
当然，解决问题之后的反思与评价也是一个非常重要的环节，我们要在学生经常犯错、考试易错的题目中下手，找到学生犯错的根源，从根源上下手，培养学生自己发现问题、分析问题、解决问题、归纳总结问题的能力，一步步地引导学生，不是为了讲题而讲题，而是更多地让学生讲他们所能想到的所有知识点，最后整合所有学生的思维点，这样就能让学生知道自己哪些知识点是没有想到的，为什么其他同学想到了而自己却没有想到，很容易让学生在对比中发现自己的不足，在以后的学习中会多多注意，这样的进步也是显而易见的。
总之，小学高年级数学思维能力与逻辑能力的培养是至关重要的，也是一个循序渐进的过程，这种思维的培养让学生在数学领域的学习中会更加轻松愉悦，也不会让数学显得那么枯燥，最终让学生终身受益。
一、找准有序思考的“序点”
有序思考的“序点”就是一条能解决有序思考问题的出路和捷径。找准序点对“有序思考题”的解决往往会产生事半功倍的效果。因此，在小学数学教学中，教师要根据具体的题目帮助学生找准有序思考的“序点”，这样，学生在思考的时候就会做到不重复、不遗漏，从而一一对应地对答案进行分类，这样他们的思考就严密得多。
例如，在北师大小学数学二年级下册第9页有这样一道题（图略）：已知面包车每辆限坐8人，小轿车每辆限坐3人，如果有29人，问：你会怎么派车？怎样派车比较合理？
教学中可以用以下表格统计学生的方法：
[＼&面包车/辆＼&小轿车/辆＼&余下的座位数/个＼&方案一＼&0＼&10＼&1＼&方案二＼&1＼&7＼&0＼&方案三＼&2＼&5＼&2＼&方案四＼&3＼&2＼&1＼&方案五＼&4＼&0＼&3＼&]
这道题处在“有余数除法”单元，要用到的计算有乘、减、除、减四步，用到的数量关系有“求剩余”问题、“有余数除法”问题、乘法问题等。如，方案三的思维过程大致是：假如面包车需2辆，能坐下2×8=16（人），还剩下29-16=13（人）；而13÷3=4（辆）……1（人）故小轿车至少需4+1=5（辆）才够，剩余座位则是2×8+3×5-29=2（个）。以上过程细数有8步。
至于怎么派车合理，一般学生会认为方案二合理，笔者也认为方案二合理。现在我们发现很多教师认为只要学生有合理的解释，每个方案都可以，并认为是人文教学。（这正是数学生活化的弊病之一，限于篇幅，在此文中笔者不想过多展开。）笔者认为这样的教学是不符合数学学科特点的，我们要教会学生从“学校数学”角度分析去选择方案二。因为这一道题的序点就是先思考（满足）“面包（大）车的辆数”的条件，再思考小车的符合条件，而如果从小车入手，问题会很复杂
由此我们可以知道，有序思考的题目对小学生而言是很复杂的一类题，不仅要求学生能有序地思考，还要有极强的推理归纳能力，还要有缜密的思维品质，更要有较强的计算能力，而在这个过程中，帮助学生找到有序思考的“序点”是很重要的。
二、理清有序思考的“主线”
有序思考类的题目，不同的学生会有不同的思考方向，也会有不同的思维方法。因此，在给学生做完这一类题目时，在反馈时，教师要帮助学生理清有序思考的“主线”，这样，才能有效地培养学生的思维品质和解决问题的能力。
例如，要使y [x24]商是三位数，余数是0，x和y可以怎样填？对于这一道题，学生做完以后可能出现以下反馈：
生1：老师，我发现填法很多的。比如124÷1，624÷9，224÷2……（一口气说了七八个）
生2：老师，我还有……
生3、生4、生5：……
生6：老师，我发现了规律。y越大，填法就越少。
生7：老师，我还发现，y是5和9时，没有答案。
生8：y为1时，答案最多，有九种。
……
反馈时，让每个想发表观点的学生把自己的观点说完、说透，一个学生说完，其他学生可以就此进行反驳。教师不要急着抛出答案，要耐心等待学生的阐述，积极评价学生正面的、有价值的反馈。因为所有的争论和交流都是从无序走向有序的过程，也正是我们充分地进行了交流，学生才能发现我们的无序思维是不严密的，容易重复和遗漏，于是进行有序思考的需求就顺理成章了。
三、提供有序思考的空间
我们经常在口头上说要给学生一个足够的思考时空，但是在教学中我们经常发现有些老师在教学“有序思考”时总是担心学生不会解决此类题目，于是更多的就采取告诉、讲解、包办解题思路的方法，其实教师就是担心学生不会推理归纳，试想学生没有经历一个丰富的推理归纳过程，他们推理归纳的能力能形成吗？这样的效果是可以想见的，日后学生遇到此类题一般是做不出来的。
还是以上题为例，这道题学生想把它做到不遗漏是不正常的，但是教师不必担心学生的思维水平。我们要相信学生不是一张白纸，放手让学生自行解决问题，可以独立完成，可以互相交流。一定要让学生充分思考，直至“瓜熟蒂落”为止。教师在巡视中要耐心倾听学生不同的意见，还可以与学生进行讨论，此时最好不要暗示，将自己也当作一个思考者、参与者。
总之，培养小学生“有序思考”的能力是很重要的，这是培养学生思维能力的重要途径之一，也是培养学生解决问题能力的有效切入口。对于“有序思考”的思考笔者只是就教材而谈，更深层的理论依据和实践应用还需要在以后的教学中和同行们继续揣摩，此文只是起抛砖引玉之用。
数学教育的本质是素质教育。这不仅是因为数学是我们认识这个世界最重要、最基本的工具，还因为数学教育有着不可替代的、培育理性思维的育人价值。那么在数学教育过程中如何落实理性思维的培养，真正实现素质教育呢？
一、严谨是理性思维的基础——“粗心”是数学学习中一个很坏的借口
数学考试成绩出来，经常有学生感叹：“怎么这个题目错了”，“我都会的，就是粗心了”。听到这样的话，家长和老师往往就放心了，叮嘱一下以后不要粗心，好像问题就解决了。
而事实上没有一个人会希望在考试中粗心，大家都希望高质量地完成考试，但却总是避免不了各种错误。这是因为本质不是粗心，是能力问题。粗心这个词掩盖了很多实质性的问题。
我觉得粗心是大量实质性问题的不恰当归类。所谓的粗心，总体而言就是不严谨，其下位是学生在学习上的各种能力的缺陷。运算错了，是运算能力有问题；理解上出了偏差，是理解能力存在缺陷；考虑问题不全面，是逻辑不严密；表达上出纰漏，是表达能力的问题等。很多环节都有所谓的粗心，但我觉得我们不能用“粗心”一词简单地一笔带过，应该认识到这是涉及各个方面的能力问题。
要关注数学学习中能力培养的问题，其核心是良好的学习习惯和严谨的意识。我们以运算为例。在高中数学中，运算中每一步分解开大多是小学数学的内容，理论上说不应该错。很多情况下出错是因为学生在运算时注意力不集中，专注力不够，由此出现种种低级错误。
当然和粗心一样，专注力的问题也是一个说起来容易、解决起来困难的问题。人的专注力常常是不以自己的意志为转移的。在数学学习、问题解决中保持较强专注力是一种能力，需要在日常训练中养成，其基础是良好的数学学习习惯和严谨的态度。
在数学学习中，我们应该要求自己以严谨认真的态度，聚精会神地去做每一件事。这种高度关注、全力以赴是一种非常重要的习惯，是能力提升的基础，能形成学习、工作与生活的良性循环。
虽然我曾担任过奥数教练，但我不赞成人人都参加奥数训练。有能力的、喜欢的学生去学习，没有基础、不喜爱却盲目学习奥数的后果就是“磨洋工”。明明不喜欢，不愿意，但被迫去做，学生不可能专注，不可能严谨。或许学生花了很长时间，但是效率不高，质量不好，反而养成了坏习惯。
二、质疑是理性思维的核心——数学教育中的“是什么”“为什么”“还有什么”
复旦附中曾容老师将数学学习归纳出三个什么，那就是：“是什么”“为什么”“还有什么”。
高中数学内容比初中更抽象，知识浓度大幅度提升。很多学生突然觉得高中数学很难学，那是因为没有随着对能力要求的提升，及时调整学习方法，习惯用初中学习的模式，进行高中数学学习。这是在“学”这一方面存在的问题。
那么在“教”这一方面的问题是什么呢？我们常常过于专注于具体知识的学习或传授，而忽视揭示其背后的道理。在一些数学教学中经常没有思考过程只是结论，由条件到结论，其中缺乏质疑与说理的环节，把数学的思维过程压缩成结论的抢答。只追求解题速度，却不关注思维品质提升，满足于知其然，不质疑所以然。因此学生的探究、归纳和逻辑推理能力没有得到充分训练，丧失了最有效的培养学生的质疑、探究、归纳和逻辑推理能力的机会。
在数学学习中应以学生为主体，学生不能被动地学习。在高中数学中有着大量前人创造性的工作，需要重视数学知识与概念形成过程。数学知识概念都是前人的创造，学生在老师引导下模拟发现探究的过程，这才是最真实的创新。比如在立体几何中，异面直线所成角大小的概念为什么如此定义？其中包含着怎样的数学道理？为问题解决奠定了怎样的基础？这些问题仔细探究下去，看似多花了些时间，但可以让学生抓住概念中蕴含的重要信息，挖掘数学概念内涵，培养质疑、探究精神，体验数学的简洁与高效。
学任何学科都要有质疑的精神。我们所说的数学中质疑的眼光，关键是质疑数学知识本质是什么，为什么是这样，除此之外还有什么，只有这样才能最终促进数学学习，提升学习能力和思维品质。
三、兴趣是理性思维培育的基石——模拟数学历史，培育数学学习兴趣
爱因斯坦说过：“对一切来说，只有热爱才是最好的老师，远远超过责任感。”我想，如果没有兴趣，是绝谈不上“热爱”的。一直以来，我们似乎有一个比较普遍的观点，就是美国中小学数学教育不如我们。但是为什么一方面我们认为我国的基础数学教育水平远远高于美国人，而另一方面却还有很多人质疑数学教育的作用，希望数学“滚出高考”呢？答案其实很简单，如果数学教育的目的就是考试，数学学习的过程只有解题的话，数学教育当然令人乏味。
高中阶段学生的兴趣已经不是简单地建立在好玩、有趣之上了，更重要的是使学生觉得有收获，有教益。那么怎么才算是有收获呢？一种观点是要体现数学源于实践，也能运用于实践，学了之后能在生活中有用。但遍数高中数学知识，能够真正直接运用于生活实践的屈指可数，人为编造的“运用”不仅不能令人信服，更是学习数学无用论的原因之一。实际上数学是自然科学的基础是公认的事实，这就是数学最令人信服的运用。
在数学学习过程特别是高中数学学习过程中，我反对片面强调数学与实际应用挂钩，而更要期望关注数学的不用之用，从文化的角度和人的成长角度思考数学教育。现在数学教育的问题在于割裂了数学知识与其背后的思想、文化之间的有机联系，只有一个个孤立的知识点与题目，却没有鲜活的过程和体验。任何数学概念的产生都不是天上掉下来的，数学的发展既有内部需要，也有外部力量推动等因素，这都是非常宝贵的数学资源。
因此，数学的魅力在于让学生体会教材中数学概念产生的必要性和可能性，引导他们去重历或者模拟这些问题的发生、发展的过程，使学生在知识积累的同时亲身体验到探索、创新的快乐，并从前人研究问题的背景以及相应的方法中得到启发，感悟数学文化。
四、数学是一种理性思维的文化——我们为什么要学数学
“数学没用”“题目难”是很多人对于高中数学的印象，甚至有人在网络上发出“数学滚出高考”的呼声。那么为什么人人都要从小学就开始学习看似和日常没啥关系、很多人考完就忘的数学呢？
这个问题我们不妨换一个角度来思考。在中国大概很少有人问读唐诗有什么用。这是因为人们都认同唐诗是中国传统文化，其中蕴含着重要的育人价值和文化传承，即所谓的“不用之用”。
我们从小读唐诗，是为了学习与感受祖国的文化。同样，学习数学也是在学习一种文化。数学是一种世界文化，数学教育中同样有着育人价值和文化传承。
