从数学课堂教学中应如何处理好教知识、思想、方法、技能这几者之间的关系谈谈你是如何理解和处理的。 如何教好小学三年级数学。
浅谈初中数学教学中如何进行数学思想方法的渗透
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张张蓝图就相当于数学思想。
数学知识的发生、发展过程，也是数学思想方法不断完善与创新的过程。伴随课程改革日益深入，数学观念不断更新，数学思想方法的重要性也就越来越凸显出来。《课程标准》指出，要让不同的人在数学上得到不同的发展，其中最重要的就是学生数学思想方法的形成与发展。对学生来说，“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的是数学的精神、数学的思想、研究方法和着眼点等。这些都随时随地发生作用，使他们终生受益。”（日本数学家米山国藏语）。那么，作为初中数学教师，在教学实践中，如何挖掘并系统地向学生进行数学思想方法的教育应是一个值得深思的课题。下面我就谈谈自己在平时的教学中如何进行数学思想方法的渗透。
1、备课时深入挖掘
备课时，有不少教师只重视章节中的基本知识和技能，却有意无意地忽略存在于其中的数学思想方法，有些甚至对发现和运用这些知识中至关重要的思想方法视而不见。其实数学思想方法是联系知识的桥梁，是帮助学生产生灵感使其变聪明的法宝。因此，教师备课的重要任务之一就是把存在于教材中的思想方法潜心挖掘出来。对教材的研究应包括对数学思想方法的研究，必须弄清章节中到底隐含着怎样的思想方法，这些思想与方法又集中体现在什么知识点中。例如，数学教材中处处体现了转化思想。学习了负数和相反数，可把减法转化为加法，使加减法完美统一；又如，引入数轴概念时，第一次把抽象的“数”与直观的“形”和谐结合。若教师能在备课时意识到这一点，届时抓住时机，具体形象地向刚入初中的学生及时渗透“数形结合”这一重要数学思想，这对学生以后的学习与发展不无碑益。另外，初中阶段的应用性问题中处处体现着构建模型、转化、数形结合等思想方法，通过对实际问题局部与整体关系的剖析，尝试把其转化为相应的数学问题，建立合理的数学模型，再借助直观图形和知识，尝试不同的解决策略，这个过程中本身就蕴涵着丰富的数学思想和方法。教师只有把存在于教材中的数学思想与方法不断挖掘出来进行系统研究，结合初中不同年级不同学生的生理和心理特征，有计划有步骤地进行渗透与指导，引起学生对数学思想方法的必要重视，这对提高学生的数学思辨能力是相当必要的。
2．要把握好渗透的契机。
由于初中学生数学知识比较贫乏，抽象思维能力也较为薄弱，把数学思想、方法作为一门独立的课程还缺乏应有的基础。因而只能将数学知识作为载体，把数学思想和方法的教学渗透到数学知识的教学中。教师要把握好渗透的契机，重视数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解决问题和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形成获取、发展新知识，运用新知识解决问题。忽视或压缩这些过程，一味灌输知识的结论，就必然失去渗透数学思想、方法的一次次良机。如北师大版初中数学七年级上册课本《有理数》这一章，与原来部编教材相比，它少了一节──“有理数大小的比较”，而它的要求则贯穿在整章之中。在数轴教学之后，就引出了“在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大”，“正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数”。而两个负数比较大小的全过程单独地放在绝对值教学之后解决。在教学中应把握住这个逐级渗透的原则，及时向学生渗透数形结合的思想，学生易于接受。
如果说结果性知识是数学的肉体，那么探究知识形成的过程和方法就是数学的灵魂。若教师上课时只注重对知识结果的传授，而轻视获取这些结果的过程与方法，那么教学效果是可想而知的。这样的教学，会使学生的学习一直停留在记忆与模仿阶段，而对学生能力的培养、智力的开发、品质的形成将无从谈起。事实上，这样教学的教师还不是少数。例如，有教师在教“完全平方公式”时，是这样进行的。先让学生通过具体例子的运算，归纳出公式 接着引导学生观察公式特征，然后让学生记忆，紧接着便进行大量的模仿练习。由于学生没有真正理解公式的结构性特征，在运算时不断出错便不足为奇，整堂课看似活跃，其实是低效的。若本节课教师能把数与形结合起来，先让学生用多项式乘法法则进行发现，再让学生通过实验、探究，用直观图形加以解释，从中研究出公式的结构性特征，这样学生亲历了知识的发生、发展过程，就能更好理解公式，并自然纳入自己的认知结构，应用也就自如了。事实上，把知识直接灌输给学生容易“干涸”，而握好契机，把获取知识的思想方法教给学生，则会生成知识的“海洋”。
3、教学时善于提炼
教师在上课时要善于从思想方法的视角帮助学生认识数学知识的发生与发展过程，要善于引导学生以数学思想方法为主线把知识点串联起来，要善于用思想方法的观点帮助学生形成自己系统的知识与方法网络。比如，在学习多边形对角线条数时，不能只让学生记牢结论：n边形对角线条数为多少条，而要重新帮助学生分析这个结论是如何来的。可引导学生从两个角度思考。角度1（从特殊到一般的思想方法）：四边形对角线条数为2，五边形对角线条数为5=2+3，六边形对角线条数为9=2+3+4，……，从而n边形的对角线条数为2+3+4+……+（n-2）=……角度2（从局部到整体的思想方法）：从n边形的一个顶点出发，有（n-3）条对角线，n个顶点就有n（n-3）条对角线，但一条对角线对应两个顶点，因此n边形共有条 对角线。这样，实现了数学知识与数学思想方法的有机融合。把
知识形成的本质规律从思想方法的角度作提炼概括，恰恰是思考与解决问题的根本。在日积月累的教学中，让学生逐步形成用比较清晰的思想方法去驾驭知识的意识，是一个由知识向方法的转化，“学会”到“会学”的升华。这样，学生的数学素养才会真正的提高。
4、要潜移默化，由浅入深。
在渗透数学思想、方法的过程中，教师要精心设计、有机结合，要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法，切忌生搬硬套，和盘托出，脱离实际等错误做法。比如，教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”，利用数形结合方法，从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
数学思想的内容是相当丰富的，方法也有难有易。因此，必须分层次地进行渗透和教学。这就需要教师全面地熟悉初中三个年级的教材，钻研教材，努力挖掘教材中进行数学思想、方法渗透的各种因素，对这些知识从思想方法的角度作认真分析，按照初中三个年级不同的年龄特征、知识掌握的程度、认知能力、理解能力和可接受性能力由浅入深，由易到难分层次地贯彻数学思想、方法的教学。如在教学同底数幂的乘法时，引导学生先研究底数、指数为具体数的同底数幂的运算方法和运算结果，从而归纳出一般方法，在得出用a表示底数，用m、n表示指数的一般法则以后，再要求学生应用一般法则来指导具体的运算。在整个教学中，教师分层次地渗透了归纳和演绎的数学方法，对学生养成良好的思维习惯起重要作用。
数学知识的学习要经过听讲、复习、做习题等才能掌握和巩固。数学思想、方法的形成同样有一个循序渐进的过程。只有经过反复训练才能使学生真正领会。另外，使学生形成自觉运用数学思想方法的意识，必须建立起学生自我的“数学思想方法系统”，这更需要一个反复训练、不断完善的过程。比如，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握。学习一次函数的时候，我们可以用乘法公式类比；在学习二次函数有关性质时，我们可以和一元二次方程的根与系数性质类比。通过多次重复性的演示，使学生真正理解、掌握类比的数学方法。
总之，我们必须不断致力于教材与学生的研究，努力挖掘教材中或显或隐的数学思想与方法，善于从思想方法的角度去探究知识的发生、发展的过程，有计划地对学生进行系统的数学思想方法的渗透，才能真正让学生在学习的过程中提高能力，发展思维。
一. 复习要注重五大策略
1. 记清概念，夯实基础。
数学≠做题，千万不要忽视最基本的概念、公理、定理和公式，特别是“不定项选择题”就要靠清晰的概念来明辨对错，如果概念不清就会感觉模棱两可，最终造成误选。因此，要把已经学过的概念整理出来，通过读一读、抄一抄加深印象，特别是容易混淆的概念更要彻底搞清，不留隐患。
2. 集中兵力，攻下弱点。
每个人都有自己的“弱点”，如果试题中涉及到你的薄弱环节，一定会成为你的最痛。因此一定要通过短时间的专题学习，集中优势兵力，打一场漂亮的歼灭战，避免变成“瘸腿”。
3. 记录错题，避免再犯。
俗话说，“一朝被蛇咬，十年怕井绳”，可是同学们常会一次又一次地掉入相似甚至相同的“陷阱”里。因此，我建议大家在平时的做题中就要及时记录错题，还要想一想为什么会错、以后要特别注意哪些地方，这样就能避免不必要的失分。毕竟，中考当中是“分分必争”，一分也失不得。
4. 前后联系，纵横贯通。
在做题中要注重发现题与题之间的内在联系，绝不能“傻做”。在做一道与以前相似的题目时，要会通过比较，发现规律，穿透实质，以达到“触类旁通”的效果。特别是几何题中的辅助线添法很有规律性，在做题中要特别记牢。
5. 适当做题，巧做为主。
埋头题海苦苦挣扎，辅导书做掉一大堆却鲜有提高，这就是陷入了做题的误区。数学需要实践，需要大量做题，但要“埋下头去做题，抬起头来想题”，在做题中关注思路、方法、技巧，要“苦做”更要“巧做”。考试中时间最宝贵，掌握了好的思路、方法、技巧，不仅解题速度快，而且也不容易犯错。
二. 考场要理顺好四个关系
1. 理顺好审题与解题的关系
有的考生对审题重视不够，匆匆一看急于下笔，以致题目的条件与要求都没有吃透，至于如何从题目中挖掘隐含条件、启发解题思路就更无从谈起，这样解题出错自然多。只有耐心仔细地审题，准确地把握题目中的关键词与量(如“至少”，“a＞0”，自变量的取值范围等等)，从中获取尽可能多的信息，才能迅速找准解题方向。
2. 理顺好难题与容易题的关系
拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此在答题时要合理安排时间，不要在某个卡住的题上打“持久战”，那样既耗费时间又拿不到分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，因此解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难，因此看似容易的题也会有“咬手”的关卡，看似难做的题也有可得分之处。所以考试中看到“容易”题不可掉以轻心，看到新面孔的“难”题不要胆怯，冷静思考、仔细分析，定能得到应有的分数。
3. 理顺好快与准的关系
在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”你才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果，不是考场上所能解决的问题，一味求快，只会落得错误百出。如一道应用题，要求列出分段函数解析式并不难，但是相当多的考生在匆忙中甚至一次函数都算错，尽管后继部分解题思路正确又花时间去算，也几乎得不到分，这与考生的实际水平是不相符的。适当地慢一点、准一点，可得多一点分；相反，快一点，错一片，花了时间还得不到分。
4. 理顺好“会做”与“得分”的关系
要将你的解题策略转化为得分点，主要靠准确完整的数学语言表述，这一点往往被一些考生所忽视，因此卷面上大量出现“会而不对”“对而不全”的情况，考生自己的估分与实际得分差之甚远。如几何证明中的“跳步”，使很多人丢失1／3以上得分，代数中“以图代证”，尽管解题思路正确甚至很巧妙，但是由于不善于把“图形语言”准确地转译为“文字”，得分少得可怜；再如三角函数图像变换，许多考生“心中有数”却说不清楚，扣分者也不在少数。只有重视解题过程的语言表述，“会做”的题才能“得分”。
总之，要提高数学成绩，关键在于要把握全面，突出重点，抓住基础，提高能力。初中学过的知识全面复习，突出主干性知识，对教学的重点加强复习，并把所学知识进行系统整理，整合成知识体系。领会基本的数学思想方法以及分析问题、解决问题的策略思想；掌握解题规律，吸取经验教训，提高数学思维品质，你一定会成为数学优生的。
一、数学思想方法的界定
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映；数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。
二、初中阶段应渗透的主要数学思想方法
在初中数学教学中至少应该向学生渗透如下几种主要的数学思想方法：
1.分类讨论的思想方法
分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数学方法，能克服思维的片面性，防止漏解。
2.类比的思想方法
类比是根据两个或两类的对象间有部分属性相同，而推出它们某种属性也相同的推理形式，被称为最有创造性的一种思想方法。
3.数形结合的思想方法
数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。
4.化归的思想方法
所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题。
5.方程与函数的思想方法
运用方程的思想方法，就是根据问题中已知量与教学法未知量之间的数量关系，运用数学的符号语言使问题转化为解方程(组)问题。
用运动、变化的观点，分析研究具体问题中的数量关系，通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究，从而使问题获得解决，称为函数思想方法。
6.整体的思想方法
整体的思想方法就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上，通过对其全面深刻的观察，从宏观上、整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理的思想方法。
三、数学思想方法渗透教学的途径
1.在知识的发生过程中，适时渗透数学思想方法
数学教学内容从总体上可分为两个层次：一个称为表层知识，包含概念、性质、法则、公式、公理、定理等基本内容；另一个称为深层知识，主要指数学思想和方法。表层知识是深层知识的基础，具有较强的操作性，学生只有通过对教材的学习，在掌握与理解了一定的表层知识后，才能进一步学习和领悟相关的深层知识。而数学思想方法又是以数学知识为载体，蕴涵于表层知识之中，是数学的精髓，它支撑和统率着表层知识。因而教师在讲授概念、性质、公式的过程中应不断渗透相关的数学思想方法，让学生在掌握表层知识的同时，又能领悟到深层知识，从而使学生思维产生质的飞跃。只讲概念、定理、公式而不注重渗透数学思想、方法的教学，将不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高。在教学过程中要引导学生主动参与结论的探索、发现、推导过程，搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。
案例1：
探索：
（1）请学生们在数轴上将下列各数表示出来：0，1，-1，4，-4
（2）1与-1，4与-4有什么关系？
（3）4到原点的距离与-4到原点的距离有何关系？1与-1呢？
给出绝对值的概念，并让学生自己从数轴上，从各点之间的关系中讨论归纳出绝对值的描述性定义。
（4）绝对值等于9的数有几个？如何利用数轴加以说明？
今后我们可以借助数轴来分析解决有关绝对值的问题，这种方法称之为“数形结合”。
这样一来，学生既学习了绝对值的概念，同时又渗透了数形结合的思想方法。在此，教师在教学中应恰当地对数学思想方法给予提炼与概括，以加深学生的印象。
数学知识的学习要经过听讲、复习、做练习等过程才能掌握与巩固。数学思想方法的形成同样要有一个循序渐进的过程并经过反复训练才能使学生真正领悟。也只有经过一个反复训练，不断完善的过程才能使学生形成直觉的运用数学思想方法的意识，建立起学生自我的“数学思想方法系统”。在新概念、新知识点的讲授过程中，如运用类比的数学方法，可以使学生易于理解和掌握。例如在学习有理数的时候，可用小学所学的“数”进行类比。
案例2：
教学环节教学过程设计意图
环节二：
新
课
学
习1.把抛物线化为一般形式。
解：
=
=
2.小组讨论：
（1）如果给出一个抛物线为，你能指出它的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
（此处视学生情况决定是否讨论）
（2）思考：如果给出一个抛物线为或者，你能指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
1、此题是为学生进行下面的讨论所做的一个铺垫。
2、通过讨论，让学生进行尝试，找出解决问题的办法，教师进行讲评时，对学生提出解决问题的不同方法，都给予积极的评价，以激发学生学习的上进心和自信心。
讲评的同时要规范学生的书写格式。
通过2个变式的思考问题，让学生了解二次项的系数不为1时如何处理。
经过多次重复与渗透，使学生真正理解、掌握类比的方法，从而灵活的运用到今后新知识的学习与问题的解决之中去，同时也提高自己的数学思维能力。
2.在问题探索、解决过程中揭示数学思想方法
我们平时的教学工作中一直存有这么一个难点：平时题目讲得不少，可只要条件稍稍一变，一些学生就会不知所措，总是停留在模仿型解题的水平上，很难形成较强解决问题的能力，更谈不上创新能力的形成。而培养学生解决问题的综合能力又是数学教学的核心目标。在解决问题的过程中，教师就应把最大的教学精力花在诱导学生怎样去想，怎样想到，到哪里去找解题的思路上，要置数学思想方法的运用于解题的中心位置，充分发挥数学思想的解题功能──定向功能、联想功能、构造功能和模糊延伸功能。若学生能在解决问题的过程中充分发挥数学思想方法的解题功能，不仅可少走弯路，而且还可大大提高学生的数学能力与综合素质。
案例3：
练习一、已知直角三角形中，知道一特殊角（或三角函数值）和斜边，求一直角边？
(通过几个简单的变式，即巩固了有关知识，也锻炼了几何思维，突出数形结合)
练习二、思考探索：
（1） 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=2，AC=2，你能求出△ABC中其他的边和角吗？
（2） 已知：在Rt△DEF中，∠E＝90°，EF=5， ∠F=60°， 你能求出△DEF中其他的边和角吗？
（3） 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A=30°， ∠B＝60°， 你能求出△ABC中其他的边吗？若能求，则写出求解过程。
（探索中展现出更多问题，讲精，讲透；从多方面，多角度去探索）
这样的设计，充分发挥了学生的主体作用，学生参与问题的探索，大大激发了学生的求知兴趣，使学生在知识学习的同时，感受和领会到了数学思想和方法的魅力。
3.在小结和复习中提炼概括数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学知识的体系中，要使学生把这种思想内化成自己的观点并应用它来解决问题，就要努力把各种知识所表现出来的数学思想方法表层化，这符合未来数学教育改革的趋势。
作为教师，我们首先弄清楚教材中所反映的数学思想方法以及它与数学相关知识之间的联系，并适时作出归纳和概括，在具体的授课活动中，以适当的方式将数学思想方法加以揭示，并使之表层化，使学生达到真正意义上的领会和掌握，增强学生对数学思想方法的应用意识。
案例4：
苏科版七下第七章小结与思考
（1） 阅读课本第32页“特殊化”，从中你学会了什么数学思想方法？
（2） 在本章知识的学习过程中你还学到了哪些重要的数学思想方法？举例说明。
（3） 小组合作探索n边形对角线的条数。
不仅在单元知识的复习回顾中，我们要重视引导学生对章节知识中蕴藏的数学思想方法加以归纳和概括，在习题评讲中我们也不能就题论题，授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因而我们要把潜于习题中的这种思想方法提炼出来，挖掘其深刻内涵，使之表层化，使学生易于从中掌握有关数学思想方法的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活动的能力。
案例5：
（2009年江苏省数学试题）如图，已知射线DE与轴和轴分别交于点和点．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动．设运动时间为秒．
（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；
（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB．
①当与射线DE有公共点时，求的取值范围；
②当为等腰三角形时，求的值．
思路分析与点拨
1．用含有t的式子表示点A、B、C、P的坐标及线段的长，是解题的基础．把这些点的坐标和线段的长一一罗列出来有利于解题．
2．⊙C与射线DE有公共点的两个临界状态是： A与D重合，⊙C与射线DE相切．
3．按腰相等分三种情况讨论等腰三角形PAB的存在性，用几何法讨论时，三种情况各有特殊性，其中AB=AP又有两种情况．
4．用代数法讨论等腰三角形PAB的存在性，用点A、B、P的坐标表示三边长的平方时，运算一定要仔细．
解题过程略；
反思：
你从本题的求解过程中学到了哪些重要的数学思想方法？（运动变化思想、数形结合思想、分类思想、化归思想）
当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之中，使学生真正形成个性的思维活动，从而全面提高自身的数学素养。
