数学思想方法在教学中的渗透|小学教学中渗透数学思想的方法
作者&投稿：愚显 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
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新课程要求教师应该是学生学习的促进者，教师必须从过去仅作为知识传授者这一角色中解放出来，促进以学习能力为重心的学生整个个性的和谐、健康发展。正如叶圣陶先生所说的：“教，是为了不教。”当学生具备了自学的能力，并能把所学到的知识转化为实际应用的能力，能够独立完成学习任务，能主动地去学习，自然就不需要教了。数学教学内容始终反映着数学基础知识和数学思想方法这两方面。数学教材的每一章每一节乃至每一道题，都体现着这两方面的有机结合，这是因为没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的数学知识。而在数学课上学生往往只注意了数学知识的学习，而忽视了联结这些知识的观点，以及由此产生的解决问题的方法与策略。因此在初中数学课堂学习中渗透数学思想方法就显得尤为重要。本人在汲取前人经验，结合自己十几年教学实践，根据数学知识与数学思想方法的辩证关系，简单地谈谈教学中常见的几种数学思想方法的渗透：
一、渗透数形结合的思想，培养用数形结合分析问题的意识
数形结合是中学数学的重要思想方法。数形结合就是将几何图形问题转化为数量关系问题，运用代数知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形性质问题，借助几何知识解决。使用这一方法能够帮助学生直观地学习数学而不是抽象地学习数学。在教学中重视培养学生数形结合的思想方法，能够有效地提高学习效率。数形结合的思想主要体现在以下几种：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例如：如图一，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）。
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO。
解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，
由∠AFO=∠AOB=∠OEB=90°
显然：Rt△AFO∽Rt△0EB。
评析本题是一道融几何与代数为一体的综合性试题，此题中三个问题设计有梯度，后一问的解决都是建立在前一问的基础上，因此问题（1）解答的正确与否直接关系到后两问，显然，巧妙地构造出基本图形是解决本题的关键，这一构造把求点的坐标转化为相似问题来解决，体现了转化、数形结合的思想。
二、加强分类讨论的训练，培养学生思维的科学性
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”。
1.分类讨论的关键问题：针对哪个变量分类，如何分类。
2.分类讨论思想的类型：
（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
（2）问题中的条件是分类给出的；
（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。
3.分类讨论的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：
（1）保证各类对象既不重复又不遗漏。
（2）每次分类必须保持同一分类标准。
4.运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
（1）确定讨论对象和确定研究的区域；
（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结，整合得出结论。
分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
三、适当运用整体思想，使问题巧妙解决
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题的目的。像这种从整体观点出发研究问题的心理活动过程，心理学上就叫做整体思维。整体思维是一种较高级的思维活动，它更具有思维的简约性和跳跃性。因此，对中学生来讲，整体思维训练有一定难度，这也要求我们在平时的教学中，必须充分把握教材中的整体因素，不失时机地渗透整体思想，由浅入深地展开整体思维训练，方能收到较好的教学效果。
例如：有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲、乙、丙各一件共需多少元?
解：设甲每件x元，乙每件y元，丙每件z元则：
3x+7y+z=315①4x+10y+z=420 ②
两个方程有三个未知数，若要单独求出x、y、z，则条件不足，而题目中又不可能再列出一个方程。
像这种复杂的运算问题，经常要把某一局部看成一个整体，使运算的对象发生转移。本题中若能将x+y+z看成一个整体，那上述方程就可化为：
2（x+3y）+（x+y+z）=315①3（x+3y）+（x+y+z）=420②
就可直接求出x+y+z=105
大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识体系之中，并没有明确的揭示和总结，需要教师引导学生去挖掘。而挖掘的过程就是数学认知结构形成的过程，也就是数学学习的最佳联结过程。数学方法是数学思维的“硬件”，它们是数学知识不可分割的两部分。如字母代数思想、方程思想、变换思想、分类思想等。数学方法包括一般的科学方法――观察与实验、类比与联想、分析与综合、归纳与演绎、一般与特殊，还有具有数学学科特点的具体方法――配方法、换元法、待定系数法等等。这就要求在数学知识教学的同时，必须注重数学思想，数学方法的有机渗透，让学生学会对问题或现象进行分析、归纳、综合、概括和抽象等。只有这样，才能有助于学生一个活的数学知识结构的形成。
在教学中，提高学生的学习能力，培养学生的思维意识，多给点思考的机会，多方面培养学生的思维品质，必将成为我们数学教师努力的方向。
（责任编辑：李君）
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一、渗透数形结合的思想，培养用数形结合分析问题的意识
数形结合是中学数学的重要思想方法。数形结合就是将几何图形问题转化为数量关系问题，运用代数知识进行讨论；或者把数量关系问题转化为图形性质问题，借助几何知识解决。使用这一方法能够帮助学生直观地学习数学而不是抽象地学习数学。在教学中重视培养学生数形结合的思想方法，能够有效地提高学习效率。数形结合的思想主要体现在以下几种：
（1）用方程、不等式或函数解决有关几何量的问题；
（2）用几何图形或函数图象解决有关方程或函数的问题；
（3）解决一些与函数有关的代数、几何综合性问题；
（4）以图象形式呈现信息的应用性问题。
例如：如图一，在平面直角坐标系中，OB⊥OA，且OB=2OA，点A的坐标是（-1，2）。
（1）求点B的坐标；
（2）求过点A、O、B的抛物线的表达式；
（3）连接AB，在（2）中的抛物线上求出点P，使得S△ABP=S△ABO。
解：（1）过点A作AF⊥x轴，垂足为点F，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，
由∠AFO=∠AOB=∠OEB=90°
显然：Rt△AFO∽Rt△0EB。
评析本题是一道融几何与代数为一体的综合性试题，此题中三个问题设计有梯度，后一问的解决都是建立在前一问的基础上，因此问题（1）解答的正确与否直接关系到后两问，显然，巧妙地构造出基本图形是解决本题的关键，这一构造把求点的坐标转化为相似问题来解决，体现了转化、数形结合的思想。
二、加强分类讨论的训练，培养学生思维的科学性
所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”。
1.分类讨论的关键问题：针对哪个变量分类，如何分类。
2.分类讨论思想的类型：
（1）问题中的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的；
（2）问题中的条件是分类给出的；
（3）解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的；
（4）涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的。
3.分类讨论的原则：由分类的定义，分类应满足下列要求：
（1）保证各类对象既不重复又不遗漏。
（2）每次分类必须保持同一分类标准。
4.运用分类讨论的思想解题的基本步骤：
（1）确定讨论对象和确定研究的区域；
（2）对所讨论的问题进行合理的分类（分类时需要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；
（3）逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决；
（4）归纳总结，整合得出结论。
分类思想不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透，螺旋上升，不断的丰富自身的内涵。
三、适当运用整体思想，使问题巧妙解决
人们在研究某些数学问题时，往往不是着眼于问题的各个组成部分，而是有意识地放大考察问题的“视角”，将需要解决的问题看做一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或作种种整体处理后，达到顺利而又简洁地处理问题的目的。像这种从整体观点出发研究问题的心理活动过程，心理学上就叫做整体思维。整体思维是一种较高级的思维活动，它更具有思维的简约性和跳跃性。因此，对中学生来讲，整体思维训练有一定难度，这也要求我们在平时的教学中，必须充分把握教材中的整体因素，不失时机地渗透整体思想，由浅入深地展开整体思维训练，方能收到较好的教学效果。
例如：有甲乙丙三种货物，若购甲3件，乙7件，丙1件共需315元。若购甲4件，乙10件，丙1件共需420元。现购甲、乙、丙各一件共需多少元?
解：设甲每件x元，乙每件y元，丙每件z元则：
3x+7y+z=315①4x+10y+z=420 ②
两个方程有三个未知数，若要单独求出x、y、z，则条件不足，而题目中又不可能再列出一个方程。
像这种复杂的运算问题，经常要把某一局部看成一个整体，使运算的对象发生转移。本题中若能将x+y+z看成一个整体，那上述方程就可化为：
2（x+3y）+（x+y+z）=315①3（x+3y）+（x+y+z）=420②
就可直接求出x+y+z=105
大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识体系之中，并没有明确的揭示和总结，需要教师引导学生去挖掘。而挖掘的过程就是数学认知结构形成的过程，也就是数学学习的最佳联结过程。数学方法是数学思维的“硬件”，它们是数学知识不可分割的两部分。如字母代数思想、方程思想、变换思想、分类思想等。数学方法包括一般的科学方法――观察与实验、类比与联想、分析与综合、归纳与演绎、一般与特殊，还有具有数学学科特点的具体方法――配方法、换元法、待定系数法等等。这就要求在数学知识教学的同时，必须注重数学思想，数学方法的有机渗透，让学生学会对问题或现象进行分析、归纳、综合、概括和抽象等。只有这样，才能有助于学生一个活的数学知识结构的形成。
在教学中，提高学生的学习能力，培养学生的思维意识，多给点思考的机会，多方面培养学生的思维品质，必将成为我们数学教师努力的方向。
（责任编辑：李君）
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