已知一个等腰直角三角形ABC , 角BAC是直角 M,N是BC上两点，角MAN是45度 问BM,MN,NC,的关系
作者&投稿：姬要 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
已知，如图所示，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90° ，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45° 求证：BD~
∵∠ABAC=90°，AB=AC，
∴将△ABM绕点A旋转90°，得△ACM'，
∴BM=CM'，∠ACM'=∠B=45°，AM=AM'，
又∵∠M'AN=90°-∠MAN=45°=∠MAN，AN=AN，
∴△AMN≌△AM'N，
∴MN=M'N，
∵∠NCM'=∠NCA+∠ACM'=90°,
∴NC²+M'C²=M'N²
∴NC²+MB²=MN²
MN²＝BM²+CN²
证明：过点B作BG⊥BC（G与A在BC的同一侧），取BG＝CN，连接AG、MG
∵AB＝AC，∠BAC＝90
∴∠ABC＝∠C＝45
∵BG⊥BC
∴∠GBC＝90
∴∠ABG＝∠GBC-∠ABC＝45，MG²＝BM²+BG²
∴∠ABG＝∠C
∵BG＝CN
∴△ABG≌△ACN （SAS）
∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN
∵∠MAN＝45
∴∠BAM+∠CAN＝∠BAC-∠MAN＝45
∴∠MAG＝∠BAM+∠BAG＝∠BAM+∠CAN＝45
∴∠MAG＝∠MAN
∵AM＝AM
∴△MAN≌△MAG （SAS）
∴MG＝MN
∴MN²＝BM²+CN²
的卫生服务
证明：作CF⊥BC，C为垂足，取CF=BD，连结AF、EF
解：
只考虑如下图所示，点M靠近B，点N靠近C，顺序为BMNC，不考虑BNMC的情况：
△ABM绕点A逆时针旋转90°到△ACG，连接GN
则：△ABM≌△ACG
所以：
AB=AC
BM=CG=1
因为：∠ABM=∠ACG=∠ACN=45°
所以：∠GCN=∠ACG+∠ACN=90°
根据勾股定理解得：GN=√(CN^2+CG^2)=√(3^2+1^2)=√10
因为：AM旋转90°到AG
所以：∠MAG=90°=∠MAN+∠GAN
所以：∠MAG=45°+∠GAN=90°
所以：∠MAG=∠GAN=45°
因为：AM=AG，AN公共
所以：△AMN≌△AGN（边角边）
所以：MN=GN=√10
所以：MN=√10
如果是BNMC的顺序：
BN=CG=BM-MN=1-MN>0，0<MN<1
CM=CN-MN=3-MN>0
因为：GM^2=CM^2+CG^2
所以：MN^2=(3-MN)^2+(1-MN)^2
整理得：MN^2-8MN+10=0
解得：MN=4-√6>1，不符合
综上所述，只能是BMNC的顺序
∵∠ABAC=90°，AB=AC，
∴将△ABM绕点A旋转90°，得△ACM'，
∴BM=CM'，∠ACM'=∠B=45°，AM=AM'，
又∵∠M'AN=90°-∠MAN=45°=∠MAN，AN=AN，
∴△AMN≌△AM'N，
∴MN=M'N，
∵∠NCM'=∠NCA+∠ACM'=90°,
∴NC²+M'C²=M'N²
∴NC²+MB²=MN²
MN²＝BM²+CN²
证明：过点B作BG⊥BC（G与A在BC的同一侧），取BG＝CN，连接AG、MG
∵AB＝AC，∠BAC＝90
∴∠ABC＝∠C＝45
∵BG⊥BC
∴∠GBC＝90
∴∠ABG＝∠GBC-∠ABC＝45，MG²＝BM²+BG²
∴∠ABG＝∠C
∵BG＝CN
∴△ABG≌△ACN （SAS）
∴AG＝AN，∠BAG＝∠CAN
∵∠MAN＝45
∴∠BAM+∠CAN＝∠BAC-∠MAN＝45
∴∠MAG＝∠BAM+∠BAG＝∠BAM+∠CAN＝45
∴∠MAG＝∠MAN
∵AM＝AM
∴△MAN≌△MAG （SAS）
∴MG＝MN
∴MN²＝BM²+CN²
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