如何培养小学生数学思维的广度和深度 如何提高小学生的数学思维和数学素养
小学生数学思维方式初探
(2007-11-22 20:03:21)
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教育杂谈
分类： 论文＆教育
著名教育家赞可夫指出: “在各科教学中要始终注意发展学生的逻辑思维, 培养学生思维的灵活性和创造性。”数学思维的培养是数学教学的灵魂，学生思维的发展是数学教学的核心。可以说，没有数学思维，就没有真正意义上的数学学习。 因此，小学数学新课程标准提出了“数学思考”学段目标，把小学数学教学活动直接指向学生在与数学相关的一般思维水平方面的发展，明确要求教师在指导学生学习数学知识的同时, 要注重启迪和发展学生思维, 使学生数学思维能力得到形成和发展。如何培养小学生的数学思维能力, 可采取以下五种方式:
一、激发求知欲望, 培养思维的主动性
学生的思维独立性较差, 他们不善于组织自己的思维活动, 往往是看到什么就想到什么。培养学生逻辑思维能力, 主要是在教学过程中通过教师示范、引导、指导, 潜移默化地使学生获得一些思维的方法。教师在教学过程中可以精心设计问题, 提出一些富有启发性的问题, 激发思维, 最大限度地调动学生积极性、主动性, 使学生始终能带着一种高涨的情绪从事学习和思考, 全身心地投入到学习之中。
例如,教学“圆的认识”第一课时, 教师首先要学生拿出一张圆形纸片, 将圆纸片对折打开, 再对折再打开, 如此多次, 让学生观察在圆纸片上看到了什么?学生精力陡然集中, 都想看看圆纸片上留下了什么。一生发现: 圆纸片上有折痕。另一生又发现: 圆纸片上有无数条折痕。老师要求学生继续仔细观察。其他学生纷纷发言: 圆面上所有折痕相交于一点, 折痕两旁的图形完全重合。这时, 教师让学生打开课本, 看一看交点叫什么? 折痕叫什么? 学生很快找到了答案并熟记。在学习同一圆中直径和半径的关系时, 教师则让学生拿出尺子量一量自己手中的圆纸片和同学手中的圆纸片的直径和半径, 启发学生又发现了什么?学生很快得出结论。要画圆了, 教师还是不讲画法, 让学生先去画, 满足他们操作圆规的好奇心, 让学生自己发现画圆的方法和步骤。整节课, 学生人人有动手操作、用眼观察、动口说理、动脑思维的机会, 自己观察发现问题, 积极探索得出结论, 教学效果好。再如,在教学“角的认识”时, 学生列举了生活中见过的角,当提到墙角时出现了不同的看法, 有的同学认为是角, 有的同学认为不是角, 到底如何认识呢? 我让学生带着这个“谜”学完了“角”的概念后, 再来讨论认识墙角的“角”可以从几个方向来看, 从而使学生的学习情绪在获得新知识中始终处于兴奋状态, 有利于学生思维活动的积极展开与深入探讨。
二、转换角度思考, 培养思维的求异性
学生的思维能力只有在思维的活跃状态中, 才能得到有效的发展。在教学过程中, 教师要根据教材重点和学生实际提出深浅适度、具有思考性的问题,培养他们敢于求“异”, 发展他们的求异思维, 进而养成独立思考问题、解决问题的习惯。
如，教学“乘法意义”的运用第一课时，出示了一道加法题: 9+9+9+5+9=? 让学生用简便方法计算。一个学生提出了9×4+5的方法，另一个学生则提出了“新方案”, 建议用9×5- 4方法解。这个学生的思维有创见, 这个方案是他自己发现的。在他的思维活动中, 他“看见了”一个实际并不存在的9, 他假设在5的位置上是一个9，那么就可以把题目先假设为9×5。接着他的思维又参与了论证: 9- 4才是原题中的实际存在的5。这种在别人看不到的问题中发现问题和提出问题, 是创造性思维的闪现, 教师应加倍珍惜和爱护。在教学中, 我还经常发现一部分学生只习惯于正向( 顺向) 思维,而不习惯于反向( 逆向) 思维。在应用题教学中, 在引导学生分析题意时, 一方面可以从问题入手, 推导出解题的思路。另一方面也可以从条件入手, 一步一步归纳出解题的方法。更重要的是, 教师要十分注意在题目的设置上进行正逆向的变式训练。如: 进行语言叙述的变式训练, 即让学生改变叙述形式依据一句话变成几句话。教学的实践告诉我们, 从低年级开始就重视正逆向思维的对比训练, 对于打破学生的思维定势有着积极的意义。
三、注重一题多解, 培养思维的广阔性
思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭隘性表现为只知其一, 不知其二, 稍有变化, 就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练, 是帮助学生克服思维狭隘性的有效办法。可以通过讨论,启迪学生的思维, 开拓解题思路, 在此基础上, 让学生多次训练, 既增长了知识, 又培养了思维能力。教师在教学过程中, 不能只重视计算结果, 要针对教学的重点难点, 精心设计有层次、有坡度、要求明确、一题多解的练习题, 让学生通过训练不断探索解题的捷径, 使思维的广阔性得到不断发展。
例如出示题为“用绳子测量井深。把绳三折来量, 井外余绳4米；把绳四折来量, 井外余绳1米。井深和绳长各是多少? ”
学生可以列出多种解法:
1.工程法: 绳长: ( 4- 1) ÷( 1 /3- 1 /4) =36( 米) , 井深: 36÷4- 1=8( 米)
2.算术法: 井深: 4×3- 1×4=8( 米) , 绳长: ( 8+4) ×=36( 米) , 还可以用方程法解答等等。
再如, 题为: “一艘轮船所带的柴油最多可以用6小时。驶出时顺风, 每小时行30千米。驶回时逆风, 每小时行驶的路程是顺风时的4 /5。这艘轮船最多驶出多远就应返回?”教师要求学生用几种方法解答, 并说出解题思路。
①因为这艘轮船往返行驶，驶出路程等于驶回路程。若设驶出最远路程要用x小时，那么驶回时要用( 6- x) 小时。列方程为:30x=( 30×4 /5) ×( 6- x) 解这个方程得x=8 /3, 那么, 驶出最远路程就是: 30×8 /3=80( 千米) 。
②先求出逆风时的速度: 30×4 /5=24( 千米) , 然后设这艘轮船最多驶出x千米就应往回驶了, 根据行驶往返所用的时间关系, 可以列出方程: x/30+x/24=6, 解这个方程得,这艘轮船最多驶出80千米就应往回驶了。
③老师问:还有其它解法吗?这时, 又一个学生举手说: “我想先求出这艘轮船逆风行驶时的速度: 30×4 /5=24 ( 千米) , 然后把这艘轮船最多驶出的路程看作单位‘1’,根据往返所用的时间关系, 可列算式: 6÷( 1 /30+1 /24) , 解这个算式得这艘轮船最多驶出80千米就应往回驶了。”这个同学利用的是类比思维方式, 他是从要解决的问题出发, 联想与它类似的一个熟悉的问题即工程问题。要通过多次的渐进式的拓展训练, 使学生进入广阔思维的佳境。
四、渗透转化思想, 培养思维的联想性
联想思维是一种表现想象力的思维, 是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼, 由表及里。通过广阔思维的训练, 学生的思维可达到一定广度, 而通过联想思维的训练, 学生的思维可达到一定的深度。例如在学习完圆柱体的表面积和体积之后,出示“一个长方体的表面积是66.16平方厘米, 底面积是19平方厘米, 底面周长是17.6厘米。求这个长方体的体积。”求长方体的体积需要用“底面积×高”, 问题是先要求出长方体的高。学生在教师的引导下, 联想圆柱体的表面积与长方体的表面积相同之处, 从而得出“长方体的高=( 用长方体的表面积- 2个底面积) ÷底面周长”顺利完成本题解答。让学生进行多种解题思路的讨论时, 有的解法需要学生用数学转化思想, 才能使解题思路简捷, 既达到一题多解的效果, 又训练了思路转化的思想。“转化思想”作为一种重要的数学思想, 在小学数学中有着广泛的应用。在应用题解题中, 用转化方法, 迁移深化, 有利于学生联想思维的培养。
五、引导知识迁移, 培养思维的综合性
数学知识具有严密的逻辑系统。就学生的学习过程来说, 某些旧知识是新知识的基础, 新知识又是旧知识的引伸和发展, 学生的认识活动也总是以已有的旧知识和经验为前提。因此, 教师在教学每一个新知识点时, 都要尽可能整合有关的旧知识, 利用已有的知识来搭桥铺路, 引导学生运用知识迁移规律,在获取新知识的过程中发展思维。如题为“两艘轮船同时分别从大江的南北两岸相对开出, 在离南岸260米相遇后继续前进, 到达对岸后立即返回, 又在离北岸200米处相遇, 大江宽是多少米? ”从已知条件出发经过认真地思维与综合, 大部分学生可以得出大江宽度实际上就是从南岸开出的轮船行使了3个260米, 比大江宽度多了200米, 列成算式是: 260×3-200=580( 米) 。这完全得益于数学综合思维的培养。
在数学教学中, 教师要特别注意培养学生根据题中具体条件, 自觉、灵活地运用数学方法, 通过变换角度思考问题, 就可以发现新方法, 制定新策略。数学教学的目的, 不仅在于传授知识, 让学生学习、理解、掌握数学知识, 更要注重教给学生学习的方法, 培养学生思维能力和良好的思维品质, 这是全面提高学生素质的需要。让我们给学生一片广阔的天地, 给他们一个自主的空间, 让他们乐学、会学、善学, 让他们的数学思维能力在课堂学习中得到充分发展。
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主要讨论如何培养学生的数学素养,发展学生的思维能力。从对数学、数学素养的理解作了四点分析:培养学生在实物中认识上升到理性认识、用数学语言来描述数学思想和观点、培养学生能用辩证唯物的观点看世界、在学过程中认知水平(学生对数学的体会和感悟)的提高来培养学生的数学素养,发展学生的思维能力。
在新课标一直强调素质教育的前提下，小学数学教学中应该更重视提高学生的思维深度与广度，它是培养学生创造性思维的前提。所谓思维的深度，是指突破表面的现象，深入透视本质的思维方式，主要体现在善于深入思考问题；所谓思维的广度，这是一种高含量的思维方式，主要体现在善于根据整个问题，从多角度、全方位对这个问题进行思考，也就是说在解决问题时，注重分析事物本质的同时，还充分考虑到了具体的细节，思维围绕着整个问题，向更深、更广的角度展开。一、思维深度与广度的概述
（一）思维深度与广度的含义
人们的思维就是在生活中，遇到困难或问题，会用大脑进行思考。思维的过程是经过分析、对照、模拟、综合、总结等方式，也就是说通过自己的认知和理解对困难提出解决方式的过程。思维能力的培养是小学数学教学的重要任务之一，学生在学习、游戏和生活中都离不开思维活动，思维能力是学生理解事物的基础。
笔者在查阅相关文献后，对思维深度与广度有了初步理解。认为思维的广度是一种高含量的思维方式，主要体现在善于根据整个问题，从多角度、全方位对这个问题进行思考，也就是说在解决问题时，注重分析事物本质的同时，还充分考虑到了具体的细节。假设将一个数学问题放置在立体空间中，针对这个问题进行全角度、全方位的分析，对此有人称之为“立体思维”。比如说，475÷25这道数学简便计算题，它的解法可以是（500-25）÷25=500÷25-25÷25，也可以是（400+75）÷25=400÷25+75÷25，虽然说一道数学题的答案是唯一的，但它的解法却非唯一。这就是思维的广度。而思维的深度是指学生在思考问题时，抛开表面现象，抓住问题核心，也就是从问题的本质部分进行由远到近、由表及里、层层递进、步步深入的思考。
（二）思维深度与广度在数学教学中的重要性
人从生下来的那一刻开始就必定存在差异，再加上后天家庭教育、环境等外界因素的影响，小学生思维的深度、广度也存在差异。正是因为这个差异的存在，我们更应该重视在小学数学教学中培养小学生思维的深度与广度。此外，更关键的是，教师在教学过程中，不但要重视向学生传授知识，还要重视从多方面提高学生的素质，特别是数学思维渗透在知识中的能力。如果教师在教学过程中忽略了对学生思维深度与广度的拓展，学生将无法更好地消化教师传授的知识，会养成只“听”的坏习惯。
古人云：“学而不思则罔，思而不学则殆。”这句话很好地诠释了思与学之间微妙的关系。教师在教学过程中，要理清思与学之间的关系，注重活跃学生的思维，这样才能让学生更好地学习知识。对此，学生在理解问题、分析问题方面提出了更高的要求。
二、对教学过程中提高学生思维深度与广度的建议
（一）注重多样化的解法
上文中提到，一道数学题有多种解法。在学生解决、思考的过程中，教师要支持学生独立思考，通过自己的方式与理解解决问题，并支持学生之间交流自己的想法。在这样的教学过程中，学生经过独立思考对问题做出解答，提高了自主学习能力及探究能力，思维得到深化。在相互交流想法的同时，学生对同一问题的各种解法进行比较、探讨、研究，将新的解题方式融入自己的思维中，有效培养了学生全方位思考问题的能力，拓展了学生思维的深度与广度。
（二）注重提问的多变性
所谓提问的多变性是指在教学过程中变化问题的条件。在学生思考一道数学题的过程中，问题的条件发生了变化，学生思维的方向、角度、方式也会随之发生变化，从多方面看待这个问题，以新的方式寻找问题的正确答案。比如“已知一个多边形的每个内角都等于135°，请问，这个多边形的度数是多少？”这道数学题，我们可以将它转变为“已知一个多边形的内角和等于1080°，请问，这个多边形的度数是多少？”，也可以将它转变为“已知一个多边形的边数为8，请问没这个多边形的内角和是多少？”。在这同一个问题上，让学生从多个方面分析问题，通过不同的途径解决问题，突破思维定势，大大提高学生思维的广度。
（三）注重培养学生提问的习惯
数学这门学科对学生的逻辑性提出了很高的要求，需要学生不断思考问题，善于质疑，只有这样才能够掌握其中的规律。虽然传统教学理念中一直着重于教师的“说”，但让学生大胆提出见解也是非常受青睐的。古人云：“若向八贤常请教，虽是笨人不会错。”在这段话中可见古人在学习过程中非常重视提问。李政道先生曾经在多次演讲当中着重提出，教学的过程要偏重于“学问”，而并非“学答”。除了死记硬背外，掌握好数学的基本概念、定理及公式也是非常有必要的。要理解数学的基本概念、定理及公式的内涵与外延，同时还要了解引入的必要性及与其他知识的联系等。培养学生善于提问的习惯，学生的思维才会渗透过知识表面、肤浅的层面，深入理解知识的内在本质，提高学生的思维深度。
（四）注重结合相关知识点
数学知识之间是存在一定相关性的，包括各部分知识在各自的发展过程中的纵向联系和各部分之间的横向联系，善于寻找它们之间的联系，有利于学生从系统的高度思考问题，把握问题的实质。比如说教师在讲授圆与圆位置关系的时候，比较曾经学过的知识点，点与圆的关系及直线与圆的关系，这样有助于学生找到圆与圆的位置关系。这样结合所学过的相关知识点，有助于学生接受新的知识点，渗透理解新知识点的内在本质。最主要的是，在对知识进行分类、梳理、综合、寻找规律的过程中拓展了思维的深度。数学是一门思维的科学，思维能力是数学学科能力的核心，有关研究发现数学的思维品质以深刻性和广阔性为基础，所以要想提高学生的思维深度，教师在优化教学过程中必须利用数学知识这一载体，创造机会提高学生的思维能力，打开学生的智慧之门。
（五）培养学生先猜后证的思维方法
猜想在发现过程中具有重要地位，教师应以此为基础，拓展学生的思维深度与广度。在这个过程中，教师要给学生尽情提供猜想的空间与机会，让学生明白合理的猜想一定要基于能够审慎地运用归纳和类推的方法，直到完成“论证推理”。在教学过程中，不论是学习新知识还是复习旧知识，都要具体内容具体分析。针对每节不同的知识点，教师应当提出相关问题让学生自主思考，还应间接引导和帮助学生对每节不同知识进行回忆，并且进行深入分析、理解、推论，以便得出最后正确的结论。最后，也是最重要的是，我们一定要对每章的整体内容进行总结。
数学教学与思维深度与广度密切相关，数学能力具有和一般能力不同的特性，因此发展数学思维能力是数学教学的重要任务，我们在发展学生数学思维能力的过程中，不仅要考虑到能力的一般要求，而且要深入研究数学科学、数学活动和数学思维的特点，寻求数学活动的规律，拓展学生的数学思维深度与广度。小学数学教学的目的，不仅在于传授知识，让学生学习、理解、掌握数学知识，更要注重教给学生学习方法，培养学生的思维能力和良好的思维品质，这是全面提高学生素质的需要。
一、培养语言表达能力
促进学生思维发展实践证明，看的思维效率最低、写的思维效率较高、说的思维效率最高，有许多思维的飞跃和问题的突破正是在说的过程中实现的。思维和语言是密切联系着的，语言是思维的“外壳”，思维是语言的“内核”，思维决定着语言的表达，反过来语言又促进思维的发展，使思维更富有条理，两者相互依存。人们正是借助语言思考问题，表达思想的。在数学课堂教学 中，语言是师生、生生间情感交流、数学思维的工具。小学 生数学思维的形成与发展是借助语言来实现的，发展学生的思维，必须相应地发展学生的语言。
首先，教师要努力做到数学语言应用的目的性、科学性、逻辑性、规范性、启发性。教学中教师要考虑小学生的语言特点，用生动有趣的语言，拨动学生的心弦，激活学生思维。
其次，教师要给学生充分提供语言训练的机会，培养学生用确切的、完整的、简练的、清晰的语言来表达思维的结果，做到思维与语言表达的统一。要经常让学生亲自动笔、动口、动手，将数学语言的准确性、严密性、逻辑性、示范性挂在学生口中，印在学生脑中，让学生“手上会做”、“脑中会想”、“嘴上会说”，使学生的思维向深层次发展。学生在回答问题时，教师不能只要求意思答对就行，还应要求学生把在感知事物过程中所进行的比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等思维过程表达清楚，要求说话完整、语言清晰准确，用逻辑性语言表达，力求精炼明了地说明问题。这样不仅培养了学生语言的表达能力，更有利于训练学生的思维能力。因此，在数学教学 过程中，教师要重视提高学生的语言表达能力，促进学生思维的发展。
二、合理运用教具，发展学生数学思维
在小学阶段主要是抽象逻辑思维，而小学生的思维特点是以具体形象性为主。数学学科特点与儿童思维水平之间有一定的距离，缩短两者之间距离所采用的手段主要靠直观教学，根据小学生心理特点及认识规律，教具对发展学生抽象思维能力能够起到一定的作用。学生可将原有的智力活动方式外化为动手操作的程序，然后又通过这一外部程序“内化”为小学生的智力活动方式。但是只有适度使用教具，才能有效地促进学生抽象思维的发展，否则，始终依赖教具，思维的水平难以提高。
三、巧妙设计问题，引导学生思维
问题是放飞思维和想象的钥匙，问题的出现能使学生产生一种需要，产生一种对解决问题的渴求，这是一种学习创新的因素，因此教师要精心设计问题，提出一些富有启发性的问题，激发思维，最大限度地调动学生的积极性和主动性。这样学生的思维能力才能得到有效的发展。例如教学梯形面积的计算时，可以先让学生回忆学过的三角形面积计算公式的推导过程，然后展示梯形模型，再提问学生：“你们能用学过的知识推导出梯形的面积计算公式吗？”这个问题引起了学生们的求知欲。他们听到问题后，就自己动手操作，有的画一画，有的剪一剪，拼一拼，合作交流，最后大部分同学都能自己推导出计算公式，成绩差的同学也在其他同学的操作、演说中学 到了知识。小学生的思维打开了，数学学习兴趣浓了，自主探索的愿望有了，就会自觉地去学习，从而能够在知识形成的过程中体会到学习的乐。
四、加强思维方法指导，培养学生创造性思维能力
思维的创造性是智力活动的创造水平。教学中要提倡求异思维，鼓励小学生探究求新，激发他们在头脑中对已有的知识进行“再加工”，以“调整、改组和充实”，创造性地寻找独特简捷的解法，从而提出各种“别出心裁”的方法，这些都能促进学生思维创造性的形成。
小学数学教学中，教师还要注意教给学生逻辑思维的方法，既要指导学生逐步掌握运用观察、比较、分析、综合、抽象、概括、判断、推理等常规思维方法解决数学问题，又要培养学生的直觉思维、发散思维和求异思维等，激发学生寻求新方法的积极情绪，使学生能较好地理解和掌握数学知识，培养学生正确的思维方式并进一步培养学生灵活辨证的思维能力，帮助学生建构稳固且易于迁移的知识结构，发展学生的智力，培养学生的创造性思维能力。从个体发展上看，人的思维从低到高大致可分为直觉动作思维、具体形象思维和抽象逻辑思维3个阶段。小学中、高年级学生的抽象逻辑思维开始萌芽。教师可通过多种形式的思维训练，促进学生抽象逻辑思维的发展，提高学生的创造性思维能力。创造性思维是人类高级的思维活动，是指人们对事物间的联系进行前所未有的思考并产生创见的思维，它是一种突破常规而又合乎逻辑的全新的思维形式，是创造能力的核心。集中体现在善于独立的思考、思维不囿于常规、勇于创新，具有主动、求异、发散、独创等特点。
总之，数学教师要树立正确的教学观，培养小学生的思维能力，以适应新时代科学知识迅速发展的需要。在数学教学中，我们要努力创设和谐的、开放的教学情境，挖掘教材内涵，联系生活实际，激发学生兴趣，抓住有利时机，诱发探究动机，提高小学生的数学思维能力。教师要创造一片广阔的天地，给学生一定的自由空间，让他们乐学、会学、善学，从而使其数学思维能力在学习中得到充分的发展。
