可导函数极值点和拐点充要条件问题 求教大神：可导函数的极值点和拐点可以在同一点取得吗？
作者&投稿：枞亲 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
高等数学：可导函数的极值点与拐点~
首先，条件只说f可导，没说f二阶可导。有可能f在x0取极大值，f'(x0)=0，但f''(x0)不存在。例如函数f(x)=(sgnx-2)*x^2在0点的情形。
其次，即便f二阶可导，如你所言，也有可能出现f在x0取极大值，而f'(x0)=f''(x0)=0的情形。例如函数f(x)=-x^4在x=0处。
当f'(x0)=f''(x0)=0时，假如f在x0处有更高阶的导数，有个标准的判别法（这个可能是LZ需要的）：
以f_n(x0)记f在x0处的n阶导数，如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0, f_(k+1)(x0)≠0。则
(1) k为偶数时，x0不是极值点；
(2) k为奇数时，x0是极大值点当且仅当 f_(k+1)(x0)<0
注意，(2)中前提是f_(k+1)(x0)≠0。
至于证明，用带Peano余项的Taylor公式（展到(k+1)阶）即可。
上述判别法虽然在多数情形下都够用，但并不能解决所有情况！如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0但f_(k+1)(x0)不存在，此判别法自然失效。
另外，即使f在x0邻域内任意次可导，如果f在x0处的各阶导数都为0，情况也很囧……注意，实变函数中这种情形是有可能出现的，f在x0处的各阶导数都为0，并不意味着f在x0的一个邻域内为常数函数。经典的例子是f(x)=exp(-1/x^2), f(0)补充定义为0. 对于这样的函数，上面的判别法也失效。
综上，充分性是不对的。极值点在大多数情况下可用此点导数值判断，但遇到一些诡异的情况时导数并不奏效……此时只能考虑从定义入手讨论。例如，若能说明存在t>0,x0-t<x<x0时f’(x0)≥0，x0<x<x0+t时f’(x0)≤0，当然可知x0是f的极大值点。
至于拐点，一般可化为极值点讨论。事实上，如果f在x0邻域内可导，那么“x0为f的拐点”等价于“x0为f'的极值点”。所以与极值点类似，拐点也很难说有简单的充要条件，不过上述判别法仍然是一个很好的判据。
另外，拐点首先看的是二阶导数（讨论f'的驻点），跟f的驻点并无直接联系！
实际上不难证明（LZ有兴趣不妨试试，算是个不错的练习题）：若f的一个可导点既是严格极值点也是拐点，那f在此点的一个邻域内只能是常数函数！如果去掉“严格”二字，结论变为：在此点的一个左邻域或右邻域内为常数函数。
我来简单回答你吧。 f'（x）=0的点，称为驻点； f''(x)=0的点称为拐点； f'决定曲线的走向（决定函数在某段的增减性）， f''决定开口方向（或许叫凸凹性更合适，不过开口方向容易理解）。
比如，函数在某点f'(x0)=0，切f'(x)<0 , 当x<x0; f'(x)>0, 当x>x0;那么由图形可以判断出xo为极小值点（极大值点类似）
如果非要用二阶导数判断， 那么结论如下： 函数在某点f'(x0)=0, f''(x0)<0 (在x0点开口向下），所以该点是极大值点。
【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 我假设你的x0不会出现在边界上（比如[a,b]区间的a就是一个边界，若出现在边界上，该点只存在左导数或者右倒数），并你已经假设你的函数可导，那么由此判断【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 可以推出x0是极大值点
你可以参阅 数学分析，高等数学等
综上，对于可导函数，x0是极大值点的“充要条件”是【f'(x0)=0且f''(x0)<0】这个结论对
你的问题基本可以说就是些概念性的问题，仔细看教材的话应该不成问题。我给你简单区分和解释一下：
首先，极值点是一个函数的局部性质，具体说是如果拿函数在此点的值与此点的一个小邻域内的其他值比较，取到最大或者最小，相应的就是极大值和极小值。这一概念与函数本身的可导性是没有关系的。但是对于一般的可微函数来讲，一阶导数为零的点往往就是一个极值点，但是也不是绝对的，比如f(x)=x^3，x=0并不是一个极值点。一般我们把f'=0的点叫做驻点，极值点只有两种情况，要么是驻点，要么是不可导点。反之，是不对的，不可导点或驻点不一定是极值点。
其次，拐点是函数图象凸凹性（有教材称为上凸和下凸）发生变化的点，所以叫做拐点，它与极值点没有本质上的关系，反应的是两个不同的数学性质。与极值点类似，拐点也是由两类点组成的：一是二阶导数为零的点，二是二阶导数不存在的点。
你好，极值点和拐点在该点不可导时是可以在同一点取得的，但在该点可导时是无法同时取得的。
首先，条件只说f可导，没说f二阶可导。有可能f在x0取极大值，f'(x0)=0，但f''(x0)不存在。例如函数f(x)=(sgnx-2)*x^2在0点的情形。
其次，即便f二阶可导，如你所言，也有可能出现f在x0取极大值，而f'(x0)=f''(x0)=0的情形。例如函数f(x)=-x^4在x=0处。
当f'(x0)=f''(x0)=0时，假如f在x0处有更高阶的导数，有个标准的判别法（这个可能是LZ需要的）：
以f_n(x0)记f在x0处的n阶导数，如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0, f_(k+1)(x0)≠0。则
(1) k为偶数时，x0不是极值点；
(2) k为奇数时，x0是极大值点当且仅当 f_(k+1)(x0)<0
注意，(2)中前提是f_(k+1)(x0)≠0。
至于证明，用带Peano余项的Taylor公式（展到(k+1)阶）即可。
上述判别法虽然在多数情形下都够用，但并不能解决所有情况！如果f'(x0)=f''(x0)=…=f_k(x0)=0但f_(k+1)(x0)不存在，此判别法自然失效。
另外，即使f在x0邻域内任意次可导，如果f在x0处的各阶导数都为0，情况也很囧……注意，实变函数中这种情形是有可能出现的，f在x0处的各阶导数都为0，并不意味着f在x0的一个邻域内为常数函数。经典的例子是f(x)=exp(-1/x^2), f(0)补充定义为0. 对于这样的函数，上面的判别法也失效。
综上，充分性是不对的。极值点在大多数情况下可用此点导数值判断，但遇到一些诡异的情况时导数并不奏效……此时只能考虑从定义入手讨论。例如，若能说明存在t>0,x0-t<x<x0时f’(x0)≥0，x0<x<x0+t时f’(x0)≤0，当然可知x0是f的极大值点。
至于拐点，一般可化为极值点讨论。事实上，如果f在x0邻域内可导，那么“x0为f的拐点”等价于“x0为f'的极值点”。所以与极值点类似，拐点也很难说有简单的充要条件，不过上述判别法仍然是一个很好的判据。
另外，拐点首先看的是二阶导数（讨论f'的驻点），跟f的驻点并无直接联系！
实际上不难证明（LZ有兴趣不妨试试，算是个不错的练习题）：若f的一个可导点既是严格极值点也是拐点，那f在此点的一个邻域内只能是常数函数！如果去掉“严格”二字，结论变为：在此点的一个左邻域或右邻域内为常数函数。
我来简单回答你吧。 f'（x）=0的点，称为驻点； f''(x)=0的点称为拐点； f'决定曲线的走向（决定函数在某段的增减性）， f''决定开口方向（或许叫凸凹性更合适，不过开口方向容易理解）。
比如，函数在某点f'(x0)=0，切f'(x)<0 , 当x<x0; f'(x)>0, 当x>x0;那么由图形可以判断出xo为极小值点（极大值点类似）
如果非要用二阶导数判断， 那么结论如下： 函数在某点f'(x0)=0, f''(x0)<0 (在x0点开口向下），所以该点是极大值点。
【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 我假设你的x0不会出现在边界上（比如[a,b]区间的a就是一个边界，若出现在边界上，该点只存在左导数或者右倒数），并你已经假设你的函数可导，那么由此判断【f'(x0)=0且f''(x0)<0】 可以推出x0是极大值点
你可以参阅 数学分析，高等数学等
综上，对于可导函数，x0是极大值点的“充要条件”是【f'(x0)=0且f''(x0)<0】这个结论对
