高中 数学 双曲线 高中数学，双曲线

高中数学：双曲线和椭圆的通径是2b^2/a~

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【解法一】
不失一般性，设等轴双曲线方程为：x^2/a^2－y^2/a^2＝1，
设左焦点为F1，右焦点为F2，双曲线的中心为O(坐标轴原点)，
在△PF1F2中，OP为F1F2的中线，由中线定理得：
PF1^2＋PF2^2＝2OP^2＋2OF1^2＝2OP^2＋4a^2 ①
又由双曲线的定义知：
|PF1－PF2|＝2a
(PF1－PF2)^2＝4a^2
PF1^2＋PF2^2－2PF1•PF2＝4a^2 ②
把①代入②得：
2OP^2＋4a^2－2PF1•PF2＝4a^2
化简即得结论：
PF1*PF2=OP^2=d^2.

【解法二】
不失一般性，设双曲线方程为：x^2/a^2－y^2/a^2＝1，得：
该双曲线的焦点坐标是F1（－√2a，0）、F2（√2a，0），该双曲线中心坐标为O（0，0）。
令P（m，n）是该双曲线上的一点。则：
｜PF1｜＝√［（m＋√2a）^2＋n^2］，｜PF2｜＝√［（m－√2a）^2＋n^2］。
∴｜PF1｜｜PF2｜＝√｛［（m＋√2a）^2＋n^2］［（m－√2a）^2＋n^2］｝
＝√［（m^2－2a^2）^2＋（m^2＋2a^2＋2√2am＋m^2＋2a^2－√2am）n^2＋n^4］
＝√［m^4－4a^2m^2＋4a^4＋（2m^2＋4a^2）n^2＋n^4］
＝√（m^4＋2m^2n^2＋n^4＋4a^4－4a^2m^2＋4a^2n^2）
＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（m^2－n^2）］

显然，P（m，n）满足双曲线方程，∴m^2/a^2－n^2/a^2＝1，∴m^2－n^2＝a^2。
∴｜PF1｜｜PF2｜＝√［（m^2＋n^2）^2＋4a^4－4a^2（a^2）］＝m^2＋n^2。
而｜PO｜^2＝（m－0）^2＋（n－0）^2＝m^2＋n^2。
∴｜PF1｜｜PF2｜＝｜PO｜^2=d^2。

等轴双曲线的方程：x^2-y^2=a^2，焦点为F1(-根号2 a,0)、F2(根号2 a,0)
P(u,v)是等轴双曲线x^2-y^2=a^2上的一点，则u^2-v^2=a^2
P到中心的距离为d，故u^2+v^2=d^2，得u^2=(a^2+d^2)/2
P到F1(-根号2,0)、F2(根号2,0)的距离分别为：
|PF1|=根号[(-根号2 a-u)^2+(0-v)^2]=根号[2a^2+(2倍根号2)au+u^2+v^2]
=根号[2a^2+(2倍根号2)au+d^2]
|PF2|=根号[(根号2 a-u)^2+(0-v)^2]=根号[2a^2-(2倍根号2)au+u^2+v^2]
=根号[2a^2-(2倍根号2)au+d^2]
于是|PF1|*|PF2|={根号[2a^2+(2倍根号2)au+d^2]}*{根号[2a^2-(2倍根号2)au+d^2]}
=根号[(2a^2+d^2)^2-8(a^2)(u^2)]
=根号[4a^4+4(a^2)(d^2)+d^4-4a^4-4(a^2)(d^2)]
=d^2
故点P到2个焦点的距离之积等于d^2。

d的平方，找个特殊点，p点在x轴上就好求了d=a

我用特殊值算着结果就等于d的平方。