二项分布的均值、方差 均值与方差的性质 数学理工学科
作者&投稿：段干刷 （若有异议请与网页底部的电邮联系）
数学 理工学科 学习~
先用最简单的两点分布（伯努利分布）给你解释再说二项分布
两点分布的意思就是譬如说你扔硬币 结果有两个 分别是正面和反面 发生正面的概率为p 反面就为q＝1-p 如果是正面你就得1分 反面就0分 现在我们算一下你的期望 假设你的得分用x表示
那么期望E(x)=p*1+q*0=p 所以从这个可以看出期望就是你的不同情况下的得分乘以他发生的概率再求和 再说说方差 方差是描述你所得到的分数的离散情况 前面我们不是已经计算了期望 也就是均值吗 那你想想如果我们要判断你得分的离散情况该怎么办呢 就得求出你的得分与均值的差对吧 但是如果我们只用差来表示的话 就会存在绝对值 所以为了计算的简便性我们就求这些差的平方和 所以才有了方差 还是借用两点分布 D就是代表方差 所以D(x)=p*(1-E(x))^2+q*(0-E(x))^2=qp
现在算一下二项分布 E(x)=0*q^n*C(n,0)+1*p*q^(n-1)*C(n,1)+...+n*p^n*C(n,n)=np
方差是D(x)=q^n*C(n,0)*(0-E(x))^2+p*q^(n-1)*C(n,1)*(1-E(x))^2+...+p^n*C(n,n)*(n-E(x))^2=npq
另外关于均值和方差的性质 其中x是随机变量 a和b都是常数 譬如说你有一个随机变量x 另外还有一个随机变量等于ax＋b 如果你用前面的期望和方差公式算出了x的期望和方差 那么ax＋b的期望和方差你就不用再用那么复杂的公式了 而是可以直接用这个性质的公式来计算
PS： E是代表对括号里面的随机变量求期望 D是代表对括号里的随机变量求方差
二项分布的背景是，做n次实验，每次成功的概率都是p..要计算成功次数x = k的概率。
P{x=k} = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), k=0,1,2,...,n-1,n.
其中，C(n,k)表示从 n 次实验中任选k次的选法数目。。
C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]..
n!是n的阶乘。。5! = 5*4*3*2*1
期望是平均值的意思。。
成功次数x的期望，是平均成功次数的意思。。
每次成功概率为p, n次实验的平均成功次数 = n*p..好理解，好记。
计算公式复杂点。。E（X) 表示期望。。因E是expectation(期望)的首字母。。
E(X) = Sum_{k:0->n}kP{x=k} = Sum{k:0->n}kC(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}kC(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}k*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}n!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p*p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{k:1->n}(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{m:0->n-1}(n-1)!/[m!/(n-1-m)!]p^m(1-p)^(n-1-m)
= np
Sum表示求和。。Sum_{k:0->n}f(k),表示f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n).
最后一个等式来自归一性。..概率之和为1.
【做n-1次实验，要么成功0次，要么成功1次，要么成功2次，。。。，要么成功n-1次。。所以，成功0次的概率+成功1次的概率+。。。+成功n-1次的概率=1】
方差表示实际成功次数与期望之间的差距的平方。。D(X)表示方差。。因D是deviation（差别）的首字母【其实一般用V代表方差，Variance（方差）。。但不知为何，偏偏有人选用D。。】
计算公式为，D(X) = E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - (EX)^2
我们先看E[X(X-1)], 再计算E(X^2) = E[X(X-1) + X] = E[X(X-1)] + EX,最后，再计算DX。
E[X(X-1)] = Sum_{k:0->n}k(k-1)P{x=k} = Sum{k:0->n}k(k-1)C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}n!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^2*p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{k:2->n}(n-2)!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{m:0->n-2}(n-2)!/[m!/(n-2-m)!]p^m(1-p)^(n-2-m)
= n(n-1)p^2
E(X^2) = E[X(X-1)] + EX = n(n-1)p^2 + np.
D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = n^2p^2 - np^2 + np - (np)^2
= np(1-p).
方差用来描述随机性在期望周围的波动程度。。
比如扔硬币。。扔10次，每次扔到字的概率为0.5
那么，在这10次实验中，拿到字的次数服从二项分布b(10,0.5).
拿到字的期望次数为10*0.5 = 5(次）。
但每组10次扔硬币时，肯定不会都出现5次字。。
具体到某组10次扔硬币时，预测到大概会出现5次字。方差描述的是，实际扔出字的次数与5之间差别的平方。。
此时，方差=10*0.5(1-0.5) = 2.5
2.5的平方根=1.58（次）
说明实际扔出字的次数与之间差别不超过2次的机会很大。。【精确的描述有切比雪夫不等式和哈弗丁不等式~~】
性质：
a,b都是常数。。
E(ax+b), 是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的期望。。
期望运算是线性运算。。【线性变换的期望 = 期望的线性变换，E(ax+b) = E(ax) + E(b) = aEx + b】..[常数的期望=常数， E(b) = b. ]
方差是非线性变换。。
D(ax+b)，是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的方差。。
D(ax+b) = E[ax+b-E(ax+b)]^2 = E[ax+b - aEx - b]^2 = E[ax - aEx]^2 = a^2E[x - Ex]^2 = a^2D(x).
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
则根据离散型随机变量的均值和方差定义：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p
D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)
对于二项分布X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利试验中事件发生次数的随机变量。用Xi表示第i次伯努利试验中的随机变量，那么n次伯努利试验总的随机变量X可以表示成：
X=X1+X2+...+Xi+...+Xn
根据均值和方差的性质,如果两个随机变量X,Y相互独立，那么：
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
对于二项分布X~B(n,p)，每一次伯努利试验都相互独立，因此：
E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np
D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)
后面所提到的关于a、b则是指的在运算过程中，题目会给出已知的E（x）或D(x)而求出E（aX+b）或D(aX+b)。a^2指的是关于a的平方，在这个运算过程中可以看出与b的值无关，这也就是他的性质。
用逆推法，先去分母，两边同乘4（1+x）(1+y)(1+z),又因为x+y+z=1得4+12xzy+8zy+8xz+8xy<=6+3zy+3xy+3zx+6zxy
6zxy+5zy+5xz+5xy<=2
又因为x,y,z是正数，x+y+z=1可知x,y,z都是小于1大于0的数
故xzy,zy,xz,xy都是是百分位，十分位的小数,由此可知
1<6zxy+5zy+5xz+5xy<=2
满足条件，即成立。
还有其它的方法，你也可以试着去推敲。
这是第一问，你看看有问题么
先用最简单的两点分布（伯努利分布）给你解释再说二项分布
两点分布的意思就是譬如说你扔硬币 结果有两个 分别是正面和反面 发生正面的概率为p 反面就为q＝1-p 如果是正面你就得1分 反面就0分 现在我们算一下你的期望 假设你的得分用x表示
那么期望E(x)=p*1+q*0=p 所以从这个可以看出期望就是你的不同情况下的得分乘以他发生的概率再求和 再说说方差 方差是描述你所得到的分数的离散情况 前面我们不是已经计算了期望 也就是均值吗 那你想想如果我们要判断你得分的离散情况该怎么办呢 就得求出你的得分与均值的差对吧 但是如果我们只用差来表示的话 就会存在绝对值 所以为了计算的简便性我们就求这些差的平方和 所以才有了方差 还是借用两点分布 D就是代表方差 所以D(x)=p*(1-E(x))^2+q*(0-E(x))^2=qp
现在算一下二项分布 E(x)=0*q^n*C(n,0)+1*p*q^(n-1)*C(n,1)+...+n*p^n*C(n,n)=np
方差是D(x)=q^n*C(n,0)*(0-E(x))^2+p*q^(n-1)*C(n,1)*(1-E(x))^2+...+p^n*C(n,n)*(n-E(x))^2=npq
另外关于均值和方差的性质 其中x是随机变量 a和b都是常数 譬如说你有一个随机变量x 另外还有一个随机变量等于ax＋b 如果你用前面的期望和方差公式算出了x的期望和方差 那么ax＋b的期望和方差你就不用再用那么复杂的公式了 而是可以直接用这个性质的公式来计算
PS： E是代表对括号里面的随机变量求期望 D是代表对括号里的随机变量求方差
二项分布的背景是，做n次实验，每次成功的概率都是p..要计算成功次数x = k的概率。
P{x=k} = C(n,k)p^k(1-p)^(n-k), k=0,1,2,...,n-1,n.
其中，C(n,k)表示从 n 次实验中任选k次的选法数目。。
C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]..
n!是n的阶乘。。5! = 5*4*3*2*1
期望是平均值的意思。。
成功次数x的期望，是平均成功次数的意思。。
每次成功概率为p, n次实验的平均成功次数 = n*p..好理解，好记。
计算公式复杂点。。E（X) 表示期望。。因E是expectation(期望)的首字母。。
E(X) = Sum_{k:0->n}kP{x=k} = Sum{k:0->n}kC(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}kC(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}k*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:1->n}n!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p*p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{k:1->n}(n-1)!/[(k-1)!(n-1-k+1)!]p^(k-1)(1-p)^(n-1-k+1)
= npSum_{m:0->n-1}(n-1)!/[m!/(n-1-m)!]p^m(1-p)^(n-1-m)
= np
Sum表示求和。。Sum_{k:0->n}f(k),表示f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(n).
最后一个等式来自归一性。..概率之和为1.
【做n-1次实验，要么成功0次，要么成功1次，要么成功2次，。。。，要么成功n-1次。。所以，成功0次的概率+成功1次的概率+。。。+成功n-1次的概率=1】
方差表示实际成功次数与期望之间的差距的平方。。D(X)表示方差。。因D是deviation（差别）的首字母【其实一般用V代表方差，Variance（方差）。。但不知为何，偏偏有人选用D。。】
计算公式为，D(X) = E[X - E(X)]^2 = E(X^2) - (EX)^2
我们先看E[X(X-1)], 再计算E(X^2) = E[X(X-1) + X] = E[X(X-1)] + EX,最后，再计算DX。
E[X(X-1)] = Sum_{k:0->n}k(k-1)P{x=k} = Sum{k:0->n}k(k-1)C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)C(n,k)p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}k(k-1)*n!/[k!(n-k)!]p^k(1-p)^(n-k)
= Sum_{k:2->n}n!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^2*p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{k:2->n}(n-2)!/[(k-2)!(n-2-k+2)!]p^(k-2)(1-p)^(n-2-k+2)
= n(n-1)p^2Sum_{m:0->n-2}(n-2)!/[m!/(n-2-m)!]p^m(1-p)^(n-2-m)
= n(n-1)p^2
E(X^2) = E[X(X-1)] + EX = n(n-1)p^2 + np.
D(X) = E(X^2) - (EX)^2 = n(n-1)p^2 + np - (np)^2 = n^2p^2 - np^2 + np - (np)^2
= np(1-p).
方差用来描述随机性在期望周围的波动程度。。
比如扔硬币。。扔10次，每次扔到字的概率为0.5
那么，在这10次实验中，拿到字的次数服从二项分布b(10,0.5).
拿到字的期望次数为10*0.5 = 5(次）。
但每组10次扔硬币时，肯定不会都出现5次字。。
具体到某组10次扔硬币时，预测到大概会出现5次字。方差描述的是，实际扔出字的次数与5之间差别的平方。。
此时，方差=10*0.5(1-0.5) = 2.5
2.5的平方根=1.58（次）
说明实际扔出字的次数与之间差别不超过2次的机会很大。。【精确的描述有切比雪夫不等式和哈弗丁不等式~~】
性质：
a,b都是常数。。
E(ax+b), 是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的期望。。
期望运算是线性运算。。【线性变换的期望 = 期望的线性变换，E(ax+b) = E(ax) + E(b) = aEx + b】..[常数的期望=常数， E(b) = b. ]
方差是非线性变换。。
D(ax+b)，是说，随机变量ax + b(随机变量x的线性函数)的方差。。
D(ax+b) = E[ax+b-E(ax+b)]^2 = E[ax+b - aEx - b]^2 = E[ax - aEx]^2 = a^2E[x - Ex]^2 = a^2D(x).
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
性质
（1）P(ξ=K)= C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), 其中C(n, k) = n!/(k! * (n-k)!)注意！:第二个等号后面的括号里的是上标，表示的是方幂。那么就说这个属于二项分布。.其中P称为成功概率。记作ξ~B(n,p)
（2）期望：Eξ=np
（3）方差:Dξ=npq，其中q=1-p
二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布就是伯努利分布。
方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。在许多实际问题中，研究方差即偏离程度有着重要意义。
则根据离散型随机变量的均值和方差定义：
E(X)=0*(1-p)+1*p=p
D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)
对于二项分布X~B(n,p)，X表示的是n次伯努利试验中事件发生次数的随机变量。用Xi表示第i次伯努利试验中的随机变量，那么n次伯努利试验总的随机变量X可以表示成：
X=X1+X2+...+Xi+...+Xn
根据均值和方差的性质,如果两个随机变量X,Y相互独立，那么：
E(X+Y)=E(X)+E(Y)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
对于二项分布X~B(n,p)，每一次伯努利试验都相互独立，因此：
E(X)=E(X1)+E(X2)+...+E(Xi)+...+E(Xn)=p+p+...+p+...p=np
D(X)=D(X1)+D(X2)+...+D(Xi)+...+D(Xn)=p(1-p)+p(1-p)+...+p(1-p)+...+p(1-p)=np(1-p)
后面所提到的关于a、b则是指的在运算过程中，题目会给出已知的E（x）或D(x)而求出E（aX+b）或D(aX+b)。a^2指的是关于a的平方，在这个运算过程中可以看出与b的值无关，这也就是他的性质。
