第五讲 一元函数微分学的应用

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一元函数微分学的几何应用：三点(极值点、最值点和拐点)两性(单调性和凹凸性)一线(渐近线)

此外，这一讲的要求是能够准确画出函数图形

极值点 ：若存在 的某个邻域，使得该邻域内任意一点x，均有

讨论极值点的前提是函数在该点邻域内由定义，即双侧有定义

如果f(x)在区间I上有最值点 ，并且此最大值点 不是区间I的端点而是区间I内部的点，那么这个最大值点也是f(x)在区间I内的极大值点

需要注意的是，间断点也可以是极值点

一阶可导点是极值点的必要条件
但不是充分条件，比如 ，但此时x=0处不是极值点

极值点的第一充分条件 ：
设 在 处连续，且在 的某个去心邻域 内可导

极值点的第二充分条件 ：
设 在 处二阶可导，且 ，则此处必为极值点
若 ，则 在 处取得极大值；若 ，则 在 处取得极小值

极值点的第三充分条件 ：
设 在 处n阶可导，且 ，则
当n为偶数且 时， 在 处取得极大值
当n为奇数且 时， 在 处取得极小值

凹凸性 ：设函数 在区间 上连续，如果对 上任意两点 ，恒有

则称 在 上是凹弧，
反之，若

则称 在 上是凸弧，

拐点 ：连续曲线的凹弧和凸弧的分界点称为该曲线的拐点。
[注]：拐点是曲线上的一个点，必须写作

凹凸性 ：设函数 在区间 上二阶可导，则
若在 上 ，则 在 上的图像是凹的；
若在 上 ，则 在 上的图像是凸的；

二阶可导是拐点的必要条件
设 存在，且点 为曲线上的拐点，则

拐点的第一充分条件 ：
设 在点 处连续，在点 的某个去心邻域 内二阶可导，且二阶导函数在该点的左右邻域异号，则点 为曲线上的拐点

拐点的第二充分条件 ：
设 在 的某邻域内三阶可导，且 ，则 为拐点

拐点的第三充分条件 ：
设 在 处n阶可导，且 ，则当n为奇数时， 为拐点

1. 铅垂渐近线
若 (或 )，则 为一条铅垂渐近线
铅垂渐进线 中的 一般为函数的无定义点

2. 水平渐近线
若 ，则 为一条水平渐近线；若 ，则 为一条水平渐近线；

3. 斜渐近线 （水平渐近线和斜渐近线不可能在同一个方向同时存在）
若 ，则 是曲线 的一条斜渐近线
若 ，则 是曲线 的一条斜渐近线

斜渐近线的含义：
而且斜率（且不为零）和截距必须同时存在，斜渐近线才存在

有斜渐近线的曲线的次数最高不超过1，否则，任何一个高次的函数趋于无穷大的速度都远大于一次函数趋于无穷大的速度

求曲线渐近线的步骤 ：
第一步：先找无定义点 ，计算 ，若此极限不存在，则 为铅垂渐近线
第二步：计算 ，若此极限等于A，则y=A为水平渐近线
第三步：若 ，则

找分界点

区间内的最值问题：计算端点和可疑点的函数值，然后进行比较